Доску длиной 2 м распилили на две части найдите вероятность того что

Обновлено: 04.07.2024

Геометрическое определение вероятности. Задачи с решениями

За окном ранние осенние деньки, и жёлтая листва на деревьях навевает лирическое и немного грустное настроение…. Но впереди ещё целый учебный год и в такие моменты нужно обязательно настроиться на плодотворную работу! Спешу обрадовать всех хандрящих читателей своим фирменным рецептом, позволяющим быстро повысить тонус своего организма. Для этого достаточно немножко вспомнить геометрию… …нет, я согласен, что иногда она усыпляет, но в небольших дозах – исключительно бодрит! И, главное, очень действенно – как только начинаешь принимать живительные порции знаний, так сразу никакой сезонной депрессии!

Ещё на первом уроке по теме мы познакомились с классическим определением вероятности появления некоторого события в испытании и простейшей формулой , где – общее число всех возможных равновозможных, элементарных исходов данного испытания, а – кол-во элементарных исходов, благоприятствующих событию .

Возникли затруднения с терминологией и/или пониманием? Пожалуйста, начните с основ теории вероятностей.

Едем дальше: классическое определение вероятности оказывается эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом недостатков. Даже правильнее сказать, не недостатков, а ограничений. Одним из таких ограничений является тот факт, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. Простейший пример:

На отрезок наудачу бросается ~~голодная~~ точка. Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток ?

Поскольку на отрезке бесконечно много точек, то здесь нельзя применить формулу (ввиду бесконечно большого значения «эн») и поэтому на помощь приходит другой подход, называемый геометрическим определением вероятности.

Всё очень похоже: вероятность наступления некоторого события в испытании равна отношению , где – геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а – мера, выражающая количество благоприятствующих событию исходов. На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объём.

Рассмотрим событие: – брошенная на отрезок точка, попала в промежуток . Очевидно, что общее число исходов выражается длиной бОльшего отрезка: , а благоприятствующие событию исходы – длиной вложенного отрезка: По геометрическому определению вероятности:

Слишком просто? Как и в случае с классическим определением, это обманчивое впечатление. Обстоятельно и добросовестно разбираемся в практических примерах:

Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.

Решение: «чего тут сложного? Вероятность равна 1/5-й». Это автоматическая ошибка, которую допускают по небрежности. Да, совершенно верно – длина обрезка составит не менее 80 см, если от ленты отрезать не более 20 сантиметров. Но здесь часто забывают, что искомый разрез можно сделать как с одного конца ленты, так и с другого:

Рассмотрим событие: – длина обрезка составит не менее 0,8 м.

Поскольку ленту можно разрезать где угодно, то общему числу исходов соответствует её длина: Благоприятствующие событию участки разреза отмечены на рисунке красным цветом и их суммарная длина равна: По геометрическому определению:

Ответ: 0,4

Какой можно сделать вывод? Даже если задача кажется вам очень простой, НЕ СПЕШИТЕ. Импульсивность вообще штука скверная – это ошибки, ненужные покупки, испорченные ~~кожные покровы~~ отношения и т.д.… но не будем о грустном!

При оформлении задач следует обязательно указывать размерность (единицы, метры, квадратные единицы, квадратные метры и т.д.). Кстати, обратите внимание, что на финальном этапе вычислений геометрическая мера сокращается. Так в рассмотренном примере, сократились метры: , в результате чего получилась привычная безразмерная вероятность.

Разминочная задача из сборника Рябушко:

После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?

Краткое и решение и ответ в конце урока.

Значительно чаще встречаются примеры, в которых фигурируют площади:

В треугольник со сторонами вписан круг. Точка произвольно ставится в треугольник. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг.

Напоминаю, что вписанный круг лежит внутри треугольника и касается его сторон в 3 точках

Решение: поскольку точка ставится в треугольник, а круг лежит внутри, то общему числу исходов соответствует площадь треугольника, а множеству благоприятствующих исходов – площадь вписанного круга. Что тут сказать? Ищем площади:

Если даны длины сторон треугольника, то его площадь удобно найти по формуле Герона:
, где – длины сторон треугольника, а – полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр треугольника: , а затем его площадь:

Методику вынесения множителей из-под корня я освещал ещё в древние-древние времена на вводном уроке по аналитической геометрии.

Площадь вписанного круга найдём по формуле , где – его радиус.

Откуда брать геометрические формулы? Нужные формулы можно найти в школьном учебнике или другом источнике информации. При этом нет никакой необходимости специально их разучивать, лично я вспомнил только , а всё остальное в считанные минуты нашёл в Википедии. И через считанные минуты всё это благополучно забуду =)

Итак, площадь вписанного круга:

По геометрическому определению:
– вероятность того, что точка попадёт во вписанный круг.

Ответ:

Более простой пример для самостоятельного решения:

В круге радиуса 10 см находится прямоугольный треугольник с катетами 12 и 7 см. В круг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник.

Следует отметить, что в этой задаче треугольник вовсе не обязан как-то касаться окружности, он просто расположен внутри круга и всё. Будьте внимательны!

А теперь рассмотрим широко известную задачу о встрече:

Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 19.00 до 20.30. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй – 15 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой?

Давайте немного осмыслим условие. Во-первых, автомобили могут подойти на погрузку в любом порядке, а во-вторых – в любые моменты времени в течение полутора часов. По первой оглядке решение представляется довольно трудным. И для неподготовленного человека оно действительно окажется «не по зубам». Подробный анализ метода решения этой задачи можно найти, например, в учебном пособии Гмурмана, я же ограничусь в известной степени формальным алгоритмом:

Решение: сначала выясняем длительность временнОго промежутка, на котором может состояться встреча. В данном случае, как уже отмечено выше, это полтора часа или 90 минут. При этом здесь не имеют особого значения фактические временнЫе рамки – погрузка автомобилей, может состояться, например, утром с 8.30 до 10.00, и решение будет точно таким же.

Вычисления допустимо проводить как в долях часа, так и в минутах. На мой взгляд, в большинстве случаев удобнее работать с минутами – меньше путаницы.

На первом шаге изобразим прямоугольную систему координат, где в подходящем масштабе построим квадрат размером 90 на 90 единиц; при этом одна из вершин квадрата совпадает с началом координат, а его смежные стороны лежат на координатных осях.

Общему множеству исходов будет соответствовать площадь данного квадрата: Размерность лучше указать в квадратных единицах, поскольку квадратные минуты смотрятся как-то неудачно.

Далее по оси от начала координат откладываем время погрузки одного автомобиля (зелёная линия), а по оси – время погрузки другого автомобиля (красная линия) (можно наоборот, это не повлияет на решение):

Теперь из правого конца зелёного отрезка и из верхнего конца красного отрезка под углом 45 градусов проводим две линии внутри квадрата (малиновые отрезки).

Множеству благоприятствующих исходов (когда автомобили «пересекутся» во времени) соответствует площадь заштрихованной фигуры. В принципе, её можно вычислить «на пальцах», но технически проще найти площади двух прямоугольных треугольников с помощью формулы , где – длины катетов. Обратите внимание, что в общем случае эти треугольники не равны. У нас: верхний треугольник имеет катеты длиной по 80 единиц, нижний треугольник – по 75 единиц. Таким образом, суммарная площадь треугольников составляет:

И бесхитростный заключительный манёвр: из площади квадрата вычитаем площади треугольников, получая тем самым благоприятствующую площадь:

По геометрическому определению:
– вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой.

Ответ:

Если в разобранной задаче встреча была явно нежелательна, то в следующей – скорее, наоборот =) Романтичный эпизод для самостоятельного изучения:

Студенты случайным образом приходят в столовую с 14.00 до 15.00, при этом обед каждого из них занимает примерно 20 минут. Найти вероятность того, что: а) Коля встретится с Олей во время обеда, б) данная встреча не состоится.

Не нужно печалиться по поводу пункта «бэ» – любовь приходит и уходит, а кушать хочется всегда! …прошу прощения за тонкий юмор =) Решение, чертёж и ответ в конце урока.

Оставшиеся примеры статьи посвящены не менее распространённой задаче на геометрическое определение вероятности. Для начала заманивающий пример:

В квадрат с вершинами наудачу брошена точка . Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству.

Решение: изобразим на чертеже искомый квадрат и прямую :

Общему множеству исходов соответствует площадь квадрата

Прямая делит квадрат на треугольник и трапецию. Как определить фигуру, которая удовлетворяет условию ? Вспоминаем линейные неравенства: нужно взять любую точку, не принадлежащую прямой , например, точку и подставить её координаты в неравенство:

Получено верное неравенство, значит, множеству благоприятствующих исходов соответствует площадь трапеции. Рассчитаем данную площадь как сумму площадей прямоугольного треугольника и прямоугольника:

По геометрическому определению:
– вероятность того, что координаты брошенной в данный квадрат точки удовлетворяют неравенству.

Ответ:

…я так и знал, что вы соскучились по неравенствам =) А они бывают не только линейными:

Загадываются два числа и в промежутке от 0 до 5. Какова вероятность, что ?

Изобразим ветвь гиперболы , которая делит квадрат на две части:

Теперь выясним, какой из этих двух «кусков» удовлетворяет неравенству . Для этого выберем любую точку, не принадлежащую гиперболе, проще всего взять , и подставим её координаты в наше неравенство:

Получено неверное неравенство, а значит, условию соответствует «верхний кусок», площадь которого вычислим с помощью определённого интеграла.

Уточним нижний предел интегрирования аналитически (найдём точку пересечения гиперболы и прямой ):

На отрезке прямая расположена не ниже гиперболы ,
по соответствующей формуле:

По геометрическому определению:
– вероятность того, что произведение двух загаданных в промежутке от 0 до 5 чисел окажется больше двух.

Ответ:

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Загадываются два числа и в промежутке от 0 до 10. Какова вероятность, что ?

Данная задача (как, собственно, и предыдущая) допускает несколько способов расчёта площади, подумайте, какой путь более рационален. Моя версия решения совсем близко.

В заключение следует отметить, что геометрическое определение вероятности тоже обладает своими недостатками. Один из них заключается в своеобразном парадоксе, давайте вспомним демонстрационный пример с отрезком , на который случайным образом падает точка. Возможно ли, что точка попадёт, например, на самый край отрезка? Да, такое событие возможно, но по геометрическому определению, его вероятность равна нулю! И то же самое можно сказать о любой точке отрезка! Дело в том, что с позиций геометрии размеры отдельно взятой точки равны нулю, и поэтому геометрическое определение вероятности здесь не срабатывает.

Надеюсь, ваше настроение значительно улучшилось и теперь вы обязательно справитесь со всеми учебными и внеучебными трудностями. …Не улучшилось?! Дополнительные задачи по теме можно найти в архиве готовых решений по сборнику Чудесенко =) =)

Везения в главном!

Решения и ответы:

Задача 2: Решение: используем геометрическое определение вероятности. Общему числу исходов соответствует участок длиной , благоприятствующему количеству исходов – участок длиной . Таким образом:
– вероятность того, что обрыв провода произошёл между 50-м и 55-м километрами линии.
Ответ:

Задача 4: Решение: общему количеству исходов соответствует площадь круга:

Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов:

По условию поставленная в круг точка не должна попасть в треугольник, поэтому благоприятствующее число исходов выражается разностью
По геометрическому определению:
– вероятность того, что поставленная в круг точка не попадёт в треугольник.
Ответ:

Задача 6: Решение: Оля и Коля могут встретиться в течение 60 минут. Выполним чертёж:

Площадь квадрата соответствует общему числу исходов.
Рассмотрим противоположные события:
– Оля и Коля встретятся во время обеда;
– данной встречи не состоится.
Вычислим суммарную площадь двух треугольников:
– данное значение благоприятствует событию .
По геометрическому определению вероятности:

Противоположные события образуют полную группу, поэтому:

Ответ:

Задача 9: Решение: выполним чертёж:

Общее число исходов выражается площадью квадрата . Неравенству соответствует площадь , которую вычислим с помощью определённого интеграла, интегрируя по «игрек» (данный метод рассмотрен в статье Объем тела вращения).
Выразим обратную функцию: .
На отрезке , поэтому:

По геометрическому определению:
– вероятность того, что два загаданных от нуля до 10 числа будут удовлетворять неравенству
Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Доску длиной 2 м распилили на две части найдите вероятность того что

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 9 поперечных распилов, в итоге получилось 17 кусков. Сколько досок взяли?

Каждый поперечный распил добавляет один кусок к уже имеющимся, следовательно, изначально было 17 − 9 = 8 досок.

Аналоги к заданию № 514910: 520484 520525 520548 Все

Задание 21 № 520525

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 11 поперечных распилов, в итоге получилось 25 кусков. Сколько досок взяли?

Каждый поперечный распил добавляет один кусок к уже имеющимся, следовательно, изначально было 25 − 11 = 14 досок.

Аналоги к заданию № 514910: 520484 520525 520548 Все

Задание 21 № 520548

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 5 поперечных распилов, в итоге получилось 23 куска. Сколько досок взяли?

Каждый поперечный распил добавляет один кусок к уже имеющимся, следовательно, изначально было 23 − 5 = 18 досок.

1.5. Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности оказывается эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом ограничений. Одним из таких ограничений является тот факт, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. Простейший пример:

На отрезок наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток ?

Поскольку на отрезке бесконечно много точек, то здесь нельзя применить формулу (ввиду бесконечно большого значения «эн») и поэтому на помощь приходит другой подход, называемый геометрическим определением вероятности:

Вероятность наступления некоторого события в испытании равна отношению , где – геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а – мера, выражающая количество благоприятствующих событию исходов.

На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объём.
Рассмотрим событие: – брошенная на отрезок точка, попала в промежуток . Очевидно, что общее число исходов выражается длиной бОльшего отрезка: , а благоприятствующие событию исходы – длиной вложенного отрезка: По геометрическому определению вероятности:

Примечание: – метрические единицы: метры, сантиметры или какие-то др.

Задача 28
Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.

Решение: «чего тут сложного? Вероятность равна ». Это автоматическая ошибка, которую допускают по небрежности. Да, совершенно верно – длина обрезка составит не менее 80 см, если от ленты отрезать меньше 20 сантиметров. Но здесь часто забывают, что искомый разрез можно сделать как с одного конца ленты, так и с другого:

Рассмотрим событие: – длина обрезка составит не менее 0,8 м.

Поскольку ленту можно разрезать где угодно, то общему числу исходов соответствует её длина: Благоприятствующим исходам соответствуют участки, отмеченные красным цветом, и их суммарная длина равна:
По геометрическому определению:

Ответ: 0,4

Какой можно сделать вывод?

Даже если задача кажется вам очень простой, НЕ СПЕШИТЕ

При оформлении задач следует обязательно указывать размерность (единицы, метры, квадратные единицы, квадратные метры и т.д.). Кстати, обратите внимание, что на финальном этапе вычислений геометрическая мера сокращается. Так в рассмотренном примере, сократились метры:
, в результате чего получилась привычная безразмерная вероятность.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Задача 29
После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?

Значительно чаще встречаются примеры, в которых фигурируют площади:
Задача 30
В треугольник со сторонами вписан круг. Точка произвольно ставится в треугольник. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг.

Вспоминаем геометрию: вписанный круг лежит внутри треугольника и касается его сторон в трёх точках. …Представили? Отлично!

Осталось вспомнить или отыскать (проще всего в Сети) школьные геометрические формулы. Если даны длины сторон треугольника, то его площадь удобно найти по формуле Герона:
, где – длины сторон треугольника, а – полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр треугольника: , а затем его площадь:

Площадь круга найдём по известной формуле . Если круг вписан в треугольник, то его радиус можно рассчитать по формуле , этого я не вообще не знал – только что нашёл в Интернете.

Итак, площадь вписанного круга:

По геометрическому определению:
– вероятность того, что точка попадёт во вписанный круг.

Ответ:

Более простой пример для самостоятельного решения:

Задача 31
В круге радиуса 10 см находится прямоугольный треугольник с катетами 12 и 7 см. В круг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник.

А теперь рассмотрим широко известную задачу о встрече:

Задача 32
Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 19.00 до 20.30. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй – 15 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой?

Решение: сначала выясним длительность временнОго промежутка, на котором могут пересечься автомобили: это 90 минут (коль скоро, от 19.00 до 20.30). Изобразим прямоугольную систему координат, где в подходящем масштабе построим квадрат размером 90 на 90 единиц:

Общему множеству исходов соответствует площадь данного квадрата:

Теперь из правого конца зелёного отрезка и из верхнего конца красного отрезка под углом 45 градусов проводим две линии внутри квадрата (малиновые отрезки).

Множеству благоприятствующих исходов (когда автомобили «пересекутся» во времени) соответствует площадь заштрихованной фигуры. В принципе, её можно вычислить «на пальцах», но технически проще использовать окольный путь, а именно, вычислить площади двух прямоугольных треугольников. Используем формулу:
, где – длины катетов.

В нашей задаче: верхний треугольник имеет катеты длиной по 80 единиц, нижний треугольник – по 75 единиц. Обратите внимание, что в общем случае эти треугольники не равны.

Таким образом, суммарная площадь треугольников составляет:

Ответ:

Подробное объяснение этого способа решения можно найти, например, в учебном пособии В.Е. Гмурмана, я же остановился лишь на техническом алгоритме, дабы не тратить ваше драгоценное время.

И если в разобранной задаче встреча явно нежелательна, то в следующей, скорее, наоборот. Романтичный эпизод для самостоятельного изучения:

Задача 33
Студенты случайным образом приходят в столовую с 14.00 до 15.00, при этом обед каждого из них занимает примерно 20 минут. Найти вероятность того, что: а) Коля встретится с Олей во время обеда, б) данная встреча не состоится.

Не нужно печалиться по поводу пункта «бэ» – любовь приходит и уходит, а кушать хочется всегда! =)

Решение, чертёж и ответ в конце книги.

Оставшиеся примеры параграфа посвящены не менее распространённому типу задач, где фигурируют неравенства.

Для начала разогревающий пример:

Задача 34
В квадрат с вершинами наудачу брошена точка . Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству.

Решение: изобразим на чертеже искомый квадрат и прямую :

Общему множеству исходов соответствует площадь квадрата

Ответ:

…аналитическую геометрию немного вспомнили, теперь на очереди математический анализ, ибо неравенства бывают не только линейными:

Задача 35
Загадываются два числа и в промежутке от 0 до 5. Какова вероятность, что ?

Схема решения уже знакома: коль скоро загадываются 2 произвольных числа от нуля до пяти (они могут быть и иррациональными), то общему количеству исходов соответствует площадь квадрата
Изобразим ветвь гиперболы , которая делит квадрат на две части:

Теперь выясним, какой из этих двух «кусков» удовлетворяет неравенству . Для этого выберем любую точку, не принадлежащую гиперболе, проще всего взять , и подставим её координаты в наше неравенство:

Получено неверное неравенство, а значит, условию соответствует «верхний кусок», площадь которого, деваться тут некуда, придётся вычислить с помощью определённого интеграла. Уточним нижний предел интегрирования аналитически (найдём точку пересечения гиперболы и прямой ):

На отрезке прямая расположена не ниже гиперболы , по соответствующей формуле:

Ответ:

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Задача 36
Загадываются два числа и в промежутке от 0 до 10. Какова вероятность, что ?
Данная задача (как, собственно, и предыдущая) допускает несколько способов расчёта площади, подумайте, какой путь более рационален.

В заключение следует отметить, что геометрическое определение вероятности тоже обладает своими недостатками. Один из них заключается в своеобразном парадоксе, давайте вспомним самый первый пример с отрезком , на который случайным образом падает точка. Возможно ли, что точка попадёт, например, на самый край отрезка? Да, такое событие возможно, но по геометрическому определению, его вероятность равна нулю! И то же самое можно сказать о любой точке отрезка! Дело в том, что с позиций геометрии размеры отдельно взятой точки равны нулю, и поэтому геометрическое определение вероятности здесь не срабатывает.

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

1)Доску длиной 2 м распилили на 3 части. Длина одного куска вдвое больше длины другого и на 30 см меньше длины третьего

1) Пусть длина второго куска х, тогда длина первого куска 2х, а третьего 2х + 30 см. Составим уравнение:

х + 2х + 2х + 30 = 200;

х = 34 см - длина второго куска.

34 * 2 = 68 см - длина первого куска.

68 + 30 = 98 см - длина третьего куска.

Ответ: 34 см, 68 см, 98 см.

2) Пусть весь путь - х км, тогда в первый день туристы прошли 0,35х км, во второй день - 0,35х + 3. Составим уравнение:

Доску 6 М распилили на 2 части , но одна из них длиннее в 2 раза . По сколько метров каждая.

Обозначим через x длину меньшего из кусков доски, получившегося после того, как она была распилена на 2 части.

В формулировке условия к данному заданию сообщается, что одна из получившихся частей вдвое длиннее другой, следовательно, длина большей части должна составлять 2х метров.

Также в условии задачи сказано, что длина доски составляла 6 метров, следовательно, можем составить следующее уравнение:

Урок 37. Геометрическая вероятность

Испытанием называется осуществление определенных действий.

Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.

Любой результат испытания называется исходом.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

Геометрической вероятностью некоторого события называется отношение P(A) = g/G, где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию A исходов

Основная литература:

Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 288 с.: ил. - ISBN 5-09-0066565-9. сс.253-259.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вероятность наступления некоторого события A в испытании равна P(A) = g/G, где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию A исходов.

Пусть на плоскости задана некоторая область D, площадь которой равна S(D), и в ней содержится область d, площадь которой равна s(d). В области D наудачу ставится точка. Тогда вероятность события А – «точка попадает в область d» равна числу P(A) = s(d)/S(D).

Рисунок 1 - иллюстрация геометрической вероятностей

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезок l равна P(A) = |l|/|L|.

Пусть пространственная фигура d составляет часть фигуры D. В фигуру D наудачу ставится точка. Вероятность попадания точки в фигуру d равна P(A) = V(d)/V(D).

Пример использования геометрического определения вероятности при решении задачи.

Два друга договорились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи друзей, если приход каждого из них может произойти

наудачу в течении указанного часа и моменты прихода независимы?

х - момент прихода первого друга

y - момент прихода второго друга

Рисунок 2 - Иллюстрация к задаче

S=60 2 –2·1/2·40 2 =2000

P(A) = 2000/60 2 = 5/9.

Ответ: вероятность встречи 5/9.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Метровый шнур случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.

Общему числу исходов соответствует длина шнура 1 м. Чтобы длина обрезка составила не менее 0,8 м, можно отрезать не более 0,2 м. Такие отрезы можно выполнить с любой стороны шнура, их суммарная длина равна 0,2+0,2=0,4 м. По геометрическому определению:

Пример 2. В шар брошена случайная точка.

2а) С какой вероятностью она попадёт в центр шара?

Объём одной точки (центра шара) равен нулю, значит и искомая вероятность равна 0

2б) С какой вероятностью она попадёт на какой-нибудь диаметр шара?

Любая точка шара всегда попадает на какой-нибудь диаметр. Поэтому вероятность равна единице.

2в) С какой вероятностью она попадёт в одно, определённое, полушарие?

При решении этой задачи используем отношение объемов фигур. Пусть весь объём шара равен V. Все точки шара - трёхмерная фигура Ω. Искомая вероятность равна отношению объёма полушария V(A) к объёму шара V:

Пример 3. В круг радиуса см вписан равнобедренный прямоугольный треугольник. В круг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник. При необходимости в расчетах используйте значение π с точностью до целых.

Площадь круга равна

Гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в круг, равна диаметру круга (прямой угол опирается на диаметр), то есть .

Поскольку треугольник равнобедренный, его катеты равны между собой, и по теореме Пифагора каждый катет равен . Площадь такого треугольника будет равна (можно найти площадь треугольника, не вычисляя длины катета: рассмотрим квадрат со стороной, равной гипотенузе нашего треугольника, площадь такого квадрата в четыре раза больше площади треугольника

Вероятность попадания точки в треугольник равна отношению площадей треугольника и круга:

Геометрическая вероятность

Понятие геометрической вероятности было сформулировано в §37 данного справочника. В этом параграфе мы рассмотрим различные задачи, при решении которых используется геометрическая вероятность.

п.1. Геометрическая вероятность на прямой

В одномерном случае пространству всех событий соответствует длина отрезка Ω ↔ L. Событие A ↔ l_A – попадание в отрезок l_A ≤ L.
Тогда вероятность события A $$ \mathrm< P(A)=\frac > $$ Говорят, что мерой множеств событий в одномерном случае является длина .

п.2. Геометрическая вероятность на плоскости

В двумерном случае пространству всех событий соответствует площадь некоторой замкнутой области Ω ↔ S_Ω.
Событие A ↔ s_A – попадание в замкнутую подобласть с площадью s_A ≤ S_Ω.
Тогда вероятность события A $$ \mathrm< P(A)=\frac> > $$ Говорят, что мерой множеств событий в двумерном случае является площадь .

п.3. Геометрическая вероятность в пространстве

В трёхмерном случае пространству всех событий соответствует объём некоторой замкнутой области Ω ↔ V_Ω.
Событие A ↔ v_A – попадание в замкнутую подобласть с объёмом v_A ≤ V_Ω.
Тогда вероятность события A $$ \mathrm< P(A)=\frac> > $$ Говорят, что мерой множеств событий в трёхмерном случае является объём.

п.4. Примеры

Пример 1. Для игры в «Дартс» используется круглая мишень радиусом 40 см. Центральный круг – «десятка» – имеет радиус 4 см. Если игрок всегда попадает в мишень в любую точку с одинаковой вероятностью, какова вероятность попасть в «десятку»?

Пример 3. На отрезке [0; 1] случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что её координата x удовлетворяет условиям:
1) x 2 > 0,64
2) $\left\< \begin < l>\mathrm <0,3x^2\leq 0,027>&\\ \mathrm <2x^2\geq 0,08>& \end\right. $

Пример 4. В сито, наполненное до краёв зерном, уронили жемчужину. Сито представляет собой цилиндр радиусом 20 см и высотой 12 см.
1) Какова вероятность случайно зачерпнуть горсть зерна вместе с жемчужиной, если объём горсти 0,1 л?
2) Если после неудачной попытки, высыпать зерно из горсти обратно в сито, перемешать, и снова зачерпнуть горсть, изменится ли вероятность?
3) Если после неудачной попытки, высыпать зерно из горсти в сторону и зачерпнуть следующую горсть, изменится ли вероятность?
4) Сколько «неудачных» горстей нужно отсыпать в сторону, чтобы вероятность удачи для следующей попытки превысила 1/3?
1) Мерой для этой задачи является объём.
Пространство всех событий – все возможные точки, где может оказаться жемчужина – это цилиндрическое сито, объемом

V_Ω = πR 2 h, R = 20 см = 2 дм, h = 12 см = 1,2 дм
V_Ω = π · 2 2 · 1,2 = 4,8 π дм 3 = 4,8 π л

3) Если высыпать зерно в сторону, пространство всех событий уменьшится:

Пример 5. Загадываются два действительных числа от 0 до 4.
1) Какова вероятность, что их сумма больше 3?
2) Какова вероятность, что их разность меньше 1?

По условию 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4
Мерой для этой задачи является площадь.
Пространство всех событий: квадрат 4х4, S_Ω = 4 2 = 16.

Доску длиной 2 м распиливают на две части. Найди вероятность того, что длина одной из частей составит не менее 160 см.

Заданы три точки a(3; -4) b(-2; 5) c(-12; 3).составьте уравнение прямой проходящей через точку c и параллельной прямой ab.

Алгебра, 09.03.2019 21:00, otchygash2

Вквадрате abcd сторона ab = 2. найдите скалярное произведение вектор cd * вектор ca

Знаешь правильный ответ?

Доску длиной 2 м распиливают на две части. Найди вероятность того, что длина одной из частей состави.

Вопросы по предметам

Математика, 19.09.2021 11:39

Русский язык, 19.09.2021 11:39

Алгебра, 19.09.2021 11:39

Русский язык, 19.09.2021 11:39

География, 19.09.2021 11:39

Английский язык, 19.09.2021 11:39

Алгебра, 19.09.2021 11:39

Физика, 19.09.2021 11:38

Українська мова, 19.09.2021 11:38

Литература, 19.09.2021 11:38

Математика

Литература

Русский язык

Английский язык

Другие предметы

Обществознание

Окружающий мир

Українська мова

Информатика

Українська література

Қазақ тiлi

Беларуская мова

Французский язык

Немецкий язык

Психология

Больше предметов

Вопросов на сайте - 18253855

Мгновенный доступ к ответу
в нашем приложении

Будь умнее, скачай сейчас!

Ваш вопрос

Слишком короткий вопрос

Неверный логин или пароль

Восстановление пароля

Новый пароль отправлен на почту

Задайте свой вопрос эксперту

Ваш вопрос слишком короток

Вопрос отправлен эксперту. Вы получите ответ на почту.

Доску длиной 2 м распиливают на две части. Найди вероятность того, что длина одной из частей составит не менее 180 см.

.(Округлить дроби до десятых 0,3691 0,8218 0,9702 81,3501 собственная скорость теплохода 21,6 км. ч скорость течения 4.9 км. ч найдите скорость теплохода по течению и против течения.).

Математика, 02.03.2019 19:30, pivovarchik077

Вкузовке лежат 4 опенка. это на2 гриба меньше, чем свинушек в этом же кузовке. сколько в кузовке свинушек?

Математика, 03.03.2019 10:40, ник5046

На дроби лёгкой атлетикой занимаются 1/3 учеников класса, вольной борьбой 3/5 остальных учеников. 1) какая часть учеников класса занимается вольной борьбой? 2) какая часть учеников класса занимается лёгкой атлетикой и вольной
борьбой ?

Математика, 08.03.2019 06:00, tim14stefan24

Среднее арифметическое трех чисел 6. найдите эти числа, если первое число в 2,5 больше, а второе в 4,5 большего третьего.

Математика, 08.03.2019 09:10, ксения1361

Среднее арифметическое трех чисел 1,72. второе число в 1,2 раза больше третьего и на 0,4 меньше первого. найди каждое из этих чисел.

Математика, 08.03.2019 11:20, Yoshimura

При выпичке хлеба из 10 кг ржаной муки получают 14кг хлеба. сколько кг припека получаеться? сколько кг надо взять муки чтобы получить 28 кг припека ? сколько хлеба получиться из этой муки?

Знаешь правильный ответ?

Доску длиной 2 м распиливают на две части. Найди вероятность того, что длина одной из частей состави.

Вопросы по предметам

Математика, 19.09.2021 11:39

Русский язык, 19.09.2021 11:39

Алгебра, 19.09.2021 11:39

Русский язык, 19.09.2021 11:39

География, 19.09.2021 11:39

Английский язык, 19.09.2021 11:39

Алгебра, 19.09.2021 11:39

Физика, 19.09.2021 11:38

Українська мова, 19.09.2021 11:38

Литература, 19.09.2021 11:38

Математика

Литература

Русский язык

Английский язык

Другие предметы

Обществознание

Окружающий мир

Українська мова

Информатика

Українська література

Қазақ тiлi

Беларуская мова

Французский язык

Немецкий язык

Психология

Больше предметов

Вопросов на сайте - 18253855

Мгновенный доступ к ответу
в нашем приложении

Будь умнее, скачай сейчас!

Ваш вопрос

Слишком короткий вопрос

Неверный логин или пароль

Восстановление пароля

Новый пароль отправлен на почту

Задайте свой вопрос эксперту

Ваш вопрос слишком короток

Вопрос отправлен эксперту. Вы получите ответ на почту.

Читайте также: