Вычисли сколькими различными способами учитель может вызвать к доске риту санту марию настю веру

Обновлено: 02.07.2024

Чудо-девочка или жертва родителей? История Алисы Тепляковой, в 9 лет поступившей в МГУ

Алиса Теплякова – московская девочка-вундеркинд, единственный ребенок в России, который сдал ЕГЭ и получил аттестат средней школы в 8 лет . При этом в школу она не ходила ни дня – все знания усвоила на домашнем обучении под контролем родителей.

В 9 лет Алиса поступила в МГУ, но на бюджет не прошла и будет учиться на платной основе . Диплом она тоже намерена получить досрочно – уже через 2 года, когда ей самой будет только 11 лет.

Подписывайтесь на наш канал , чтобы не пропускать новые публикации.

Алиса Теплякова: вундеркинд

Алиса родилась, по-видимому, 23 июля 2012 года, сейчас ей 9 лет. (23 июля родители поздравили ее в своем блоге в ЖЖ).

В 4 года Алиса знала программу 1-го класса. В 5 лет – изучала программу 5-го. Родители решили не останавливаться и самостоятельно учить ее дальше. При этом они не считают своего ребенка вундеркиндом. Они убеждены, что не Алиса опережает систему образования, а система образования отстает от развития детского интеллекта.

«По статистике, 70% детей приходят читающими-пишущими в школу, при этом школьная программа предполагает, что они начинают с нуля. А дальше мы сталкиваемся с парадоксом: вы приводите в школу ребенка, который уже знает, по сути, программу первого, а кто-то и второго класса, а кто-то, может, и четвертого», - рассуждает отец девочки.

С 5 лет Алиса привыкла сдавать всевозможные тесты и экзамены, так что ЕГЭ в 8 лет стал для нее лишь очередным «рядовым» испытанием. Известно, что она сдала русский, математику, информатику и биологию, но родители тщательно скрывают, сколько баллов получила дочь.

«В интернете появляется все больше слухов и сплетен о баллах, якобы набранных нашей дочерью на экзаменах. Хотим подчеркнуть, что эти баллы никакого отношения к Алисе не имеют, мы баллов не раскрывали и нигде не указывали, это наша принципиальная позиция», - подчеркнули они в блоге.

Дальше был выбран факультет психологии МГУ. На дополнительном вступительном испытании по биологии Алиса набрала 48 баллов из 100 . Родители решили не терять еще год для переподготовки и заключить контракт на обучение. Оно стоит 391 050 рублей в год. По словам отца, они могут позволить себе платить по 30 тыс. в месяц.

Впрочем, ходить на пары студентка Алиса Теплякова не будет.

Алиса с мамой. Россия К / YouTube Алиса с мамой. Россия К / YouTube

Алиса Теплякова: обычная девочка

При своем интеллекте 9-летняя Алиса ведет себя как самый обычный ребенок ее возраста и, по ее словам, прекрасно общается со сверстниками. Вопреки ожиданиям, она не выдает ничего «выдающегося» время расспросов журналистов.

Так, на вопрос, кто из писателей ей больше всего нравится, ответила: «Кир Булычев, но вообще я авторов не смотрю и не запоминаю».

Из предметов ей больше всего нравятся биология и информатика. А вот история дается с трудом – даты не очень запоминаются. Кстати, родители постоянно опровергают, будто у их дочери феноменальная память.

Алиса радуется тому, что можно отметить день рождения «в Макдаке» и что ей дарят кукол. Она предвкушает, что досрочно получит диплом и тогда – «я смогу выбрать любую куклу, какую захочу!»

Какая у Алисы мечта? «Получить какие-нибудь крылья, как у Динь-Динь. Это, может, возможно. Только не вместо рук».

Мысль о том, чтобы пойти работать в 11 лет после вуза ей не нравится: «Не пойду я работать, буду с Хемиком (братом. - Anews) играть».

Впрочем, кое-что, помимо темпов учебы, сильно отличает Алису от ее ровесников. У нее нет соцсетей и она совершенно ими не увлекается, она не знает, что такое мемы, не слушает никакую современную музыку, зато играет в компьютерные игры серии «Герои меча и магии» (стратегия).

А еще Алиса знает китайский – легко его выучила, когда одно время жила в Китае с родителями.

Многодетная семья Алисы Тепляковой

Алиса – старший ребенок в многодетной семье, у нее шестеро братьев и сестер. Все, кроме самых младших, которым еще не позволяет возраст, учатся дома в ускоренном темпе, с огромным отрывом от сверстников.

Братья и сестры Алисы Тепляковой:

Брат Хеймдалль , или по-семейному, Хемик (имя из германо-скандинавской мифологии, так зовут одного из сыновей бога Одина), 7 лет – идет по программе 10-го класса.
Сестра Лея («цветок»), 5 лет – должна сдавать 4-й класс.
Сестра Терра («земля»), 4 года – программа 1-го класса.
Брат Айлунг , («дракон любви» по-китайски), 2 года – знает алфавит и учит слоги.
Брат Фейлунг («летающий дракон»), 1 год .
Брат Тесей (из греческой мифологии, имя героя, убившего Минотавра), еще нет года .

Семья Тепляковых в полном составе. НТВ / YouTube Семья Тепляковых в полном составе. НТВ / YouTube

Родители Алисы и остальных детей:

Отец Евгений Тепляков рос в Белоруссии, учился и остался жить в Москве.

У него два красных диплома МГУ: факультет психологии и факультет вычислительной математики и кибернетики. Также аспирантура МГУ и докторантура Академии наук КНР: выиграл именную стипендию CAS-TWAS. Имеет ученую степень в области молекулярной биологии.

До появления семьи работал в разных крупных компаниях, теперь – воспитатель семейного детского сада с официальной зарплатой.

Евгений Тепляков с Алисой на телеканале РБК / YouTube Евгений Тепляков с Алисой на телеканале РБК / YouTube

Теща как-то сказала про Евгения журналистам: «У него исключительная память, я таких людей больше не встречала, честно».

Мать Наталия Теплякова родом из Чувашии. Ее родители (бабушка и дедушка Алисы) и сейчас живут в Чебоксарах.

Училась на механико-математическом факультете, окончила магистратуру Финансового университета при правительстве России. До появления детей работала руководителем отделения одного из столичных банков.

Наталия Теплякова в сюжете НТВ / YouTube Наталия Теплякова в сюжете НТВ / YouTube

Супруги познакомились в 2011 году на форуме студентов МГУ, через два месяца поженились. Свадебное фото показали родители жены: тогда Евгений и Наталия были совсем другими:

Свадебное фото Тепляковых. Вести Чувашия / YouTube Свадебное фото Тепляковых. Вести Чувашия / YouTube

Где растут вундеркинды: как живут Тепляковы

По словам Евгения, все 9 человек живут в однокомнатной квартире на юге Москвы в доме под реновацию, которую отодвинули на 2028 год. Однако журналисты намекали, что они снимают большую квартиру. Отец семейства это отрицает, но его жена как-то сказала, что занимается с несколькими детьми в одной комнате, пока муж учит детей в другой.

По данным «АиФ» , опека района Зюзино поставила семью на учет как неблагополучную, но родители подали в суд и выиграли.

Евгений говорит, что они занимаются детьми только вдвоем, никто им не помогает. Чтобы дети не мешали друг другу, используют помещения библиотек и когда возможно, учатся на природе.

Он подчеркивает, что их дети занимаются МЕНЬШЕ, чем в школе, а не больше. По словам отца, у Алисы уходит 3-4 часа в день на учебу. Во время непосредственной подготовки к экзамену – 5 часов.

Дети учатся по классической советской методике и современным учебникам. Родители убеждены, что 11-летний путь школы можно преодолеть в два раза быстрее, главное – привить навык чтения. «Именно чтение является основным навыком, вокруг которого строится все остальное», - пишут они в блоге.

А также активно спорят в комментариях с теми, кто их не понимает, насмехается и упрекает.

Евгений о своих оппонентах: «Их смущает тот факт, что если с ребенком заниматься, то он оказывается не лишенным детства, но при этом получает какие-то результаты. Однако этот ребенок очень неудобен для родителей в том числе, потому что система образования не готова его взять, значит он полностью висит на вас. Вы не можете откупиться кружками, репетиторами, вы не можете отдать в школу».

Понравилась статья? Подписывайтесь на наш канал , чтобы не пропускать новые публикации! А если поставите лайк, мы будем вам очень благодарны!

Запиши, сколькими разными учитель может вызвать к доске Эвелину, Александра, Кристина, Петра Лидию.

Сделать . 1.какие значения принимает функция y=x^2-2x+1 ? 2.что будет графиком функции y=10/x на плоскости? 3.при каких значениях x дробь 5x/2x-6 не имеет смысла? 4.определите чётность или нечётность функции y=x^2-3 5.вычислите
производную функции y=5x-10x^2 6.решите неравенство 3(x-2)> 24 7.при каких значениях x функция y=2x-4/0.5 будет положительной? 8.какое наименьшее значение принимает функция y=4-4x+x^2? 9.может ли дробь x^2+1/x^2 быть отрицательной?

Алгебра, 08.03.2019 11:40, katyaSekret

Выражение 3(y-1)скобка в квадрате+6y

Алгебра, 08.03.2019 16:30, vovastrebkov161

Знайдіть суму п*яти перших членів ї прогресії, якщо b четверте=6, b дев*яте= 192

Алгебра, 11.03.2019 12:10, Аizhanbaiseitova

Найдите нод и нок чисел: а) 2 в 32 степени * з в 4степени * 11 в 31 степени и 2 в 23 степени * з в 7 степени * 11 в 14 степени ; б) 4 в 24 степени * 6 в 14 степени * 9 в 8 степени и 8 в 18 степени * 10 в 17 степени * 12 в 16 степени .

Алгебра, 11.03.2019 18:58, никкки228

Найдите промежутки монотонности указанной функции y=x/1+x^2

Алгебра, 12.03.2019 00:30, denholopДанила23231

Из 850 учащихся школы 80% занимаются в спортивных секциях, причем 5% из них- в шахматной. сколько учащихся в шахматной секции?

Знаешь правильный ответ?

Запиши, сколькими разными учитель может вызвать к доске Эвелину, Александра, Кристина, Петра Лидию.

Вопросы по предметам

Литература, 17.09.2021 23:39

Химия, 17.09.2021 23:39

История, 17.09.2021 23:39

Химия, 17.09.2021 23:39

Математика, 17.09.2021 23:39

Биология, 17.09.2021 23:39

География, 17.09.2021 23:38

Математика, 17.09.2021 23:38

Русский язык, 17.09.2021 23:38

История, 17.09.2021 23:38

Математика

Литература

Русский язык

Английский язык

Другие предметы

Обществознание

Окружающий мир

Українська мова

Информатика

Українська література

Қазақ тiлi

Беларуская мова

Французский язык

Немецкий язык

Психология

Больше предметов

Вопросов на сайте - 18240592

Мгновенный доступ к ответу
в нашем приложении

Будь умнее, скачай сейчас!

Ваш вопрос

Слишком короткий вопрос

Неверный логин или пароль

Восстановление пароля

Новый пароль отправлен на почту

Задайте свой вопрос эксперту

Ваш вопрос слишком короток

Вопрос отправлен эксперту. Вы получите ответ на почту.

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ЗАДАЧУ

Учитель географии решил выяснить у 6 девочек из 6А класса, сколько человек из их класса отсутствуют. Он получил такие ответы: Первая: больше шести, вторая: больше пяти, третья: больше четырех, четвертая: больше трех. Пятая: меньше трех, шестая: меньше четырех. Сколько человек в 6А отсутствуют, если ровно три девочки сказали правду?

Голосование за лучший ответ

Больше четырех точно ложь, так как если предположим, что это правда, то получим, то правдой должны быть и первые три ответа. Исходя из такой же логики, меньше четырех тоже ложь. Остается меньше трех, больше одного, больше двух и больше трех. Здесь выбывает меньше трех, так как если число отсутствующих учеником меньше трех, то значит оно либо два, либо один, либо ноль, что противоречит другим двум ответам. Таким образом, правдивые утверждения:
1. Больше одного.
2. Больше двух.
3. Больше трех.
Учитывая, что что четвертая девочка ошиблась, получается, что отсутствует четыре ученика.

Tate RoflorЗнаток (254) 1 год назад

На основе это попробуй, это решение похожей задачи.

Анна Изотова Ученик (124) спасибо

Tate RoflorЗнаток (254) 1 год назад

Так, решение.
Больше шести - ложь, так как получается, что тогда и больше пяти, больше трех, больше четырех являются правдой. Остаются варианты ответа: больше трех, больше четырех, больше пяти и меньше трех, меньше четырех. Меньше трех точно ложь, так как в таком случае получается только две правды. В оставшихся ответах в глаза бросается больше четырех и меньше четырех, следовательно что-то из этого ложь. И лживым утверждением является меньше четырех, ибо если оно правдиво, тогда ложью является больше пяти и больше четырех. Следовательное правдивые утверждения:
1. Больше трех.
2. Больше четырех.
3. Больше пяти.
Больше шести ложь, таким образом число больше пяти, но меньше шести. А значит ответом является число шесть.

Поль Бельмондо Ученик (101) Tate Roflor, Должен вас разочаровать - ваш ответ неверный. Во-первых, больше 5, но меньше 6 - это не 6. Это не целое число в диапазоне ]5;6[. А полтора землекопа, как мы знаем, чуть не убили школьника. Во-вторых, даже если 6 - верно, то верны и следующие утверждения: >1; >2; >3; >4 - а это уже 4 верных утверждения, что по условию задачи невозможно. Значит, 6 - ложь. Вообще говоря, рассматривать задачу нужно начинать с крайнего правого условия: >4. Первое целое число - 5. Проверяем по условиям: >1 - Истина; >2 - И; >3 - И; >4 - И. 4 - ответа - Истина, что по условию - ложь, а значит все числа больше 4-х - ложь. Далее рассматриваем все числа от 4 до 1 по тем же условиям. В итоге получим три числа, удовлетворяющих условиям : 2, 3, 4. Задача не решаема.

Поль БельмондоУченик (101) 1 год назад

Упс !! У вас другая задача . Извините. Я по инерции другой вариант рассматривал.

Юля КондрашоваПрофи (506) 1 год назад

Почему меньше четырех ложь? Тогда как раз выходит, что трое врут, а трое нет. Допустим, что отсутствует трое, тогда правду говорят первая, вторая и пятая.

Tate Roflor Знаток (254) Вот все утверждения. Предположим, что меньше четырех правда, что выходит. 1. больше шести - ложь, шесть больше четырех, значит если число меньше шести, то и меньше четырех. 2. больше пяти - ложь, пять больше четырех, значит если число меньше пяти, то и меньше четырех. 3. больше четырех - ложь, число не может быть одновременно и больше четырех, и меньше четырех. Таким образом, остаются три утверждения. 4. больше трех. 5. меньше трех 6. меньше четырех Больше трех и меньше трех это одно большое противоречие, из которого и следует, что правды всего две, а не три. Поэтому меньше четырех и является ложью.

1. Запиши значение выражения 2P9/P8. 2. Вычисли, сколькими различными учитель может вызвать к доске Риту, Санту, Марию, Настю, Веру. 3. Вычисли значен.

1. Запиши значение выражения 2P9/P8.
2. Вычисли, сколькими различными учитель может вызвать к доске Риту, Санту, Марию, Настю, Веру.
3. Вычисли значение выражения P12−2P10/10!
4. Сколько различных списков дежурных можно составить, если в классе учатся
33 ученик(-ов, -а) и дежурят по одному?
(ответ запиши как факториал (в первом окошке — число, во втором — знак).)
5. Реши уравнение относительно n:

1. Запиши значение выражения 2P9/P8.
2. Вычисли, сколькими различными учитель может вызвать к доске Риту, Санту, Марию, Настю, Веру.
3. Вычисли значение выражения P12−2P10/10!
4. Сколько различных списков дежурных можно составить, если в классе учатся
33 ученик(-ов, -а) и дежурят по одному?
(ответ запиши как факториал (в первом окошке — число, во втором — знак).)
5. Реши уравнение относительно n:

пусть масса бегемота будет 1х тонн, а масса слона будет 5х, потому что она больше в 5 раз. так как бегемот меньше слона на 4 тонны, то из большей массы вычтем меньшую и получим 4 тонны. 5х-1х=4 . решаем это уравнение 4*х=4, х=1 - это масса бегемота. 5*1=5 тонн масса слона

Ответ разместил: Гость

условие: длина класса-35м, а длина коридора-в 5 раз > . вопрос: длина коридора-? решение: 1)35*5=175м-длина коридора.

1. Запиши значение выражения 2P9/P8. 2. Вычисли, сколькими различными учитель может вызвать к доске Риту, Санту, Марию, Настю, Веру. 3. Вычисли значен.

Комбинаторика

Очень часто приходится решать задачи, в которых надо посчитать количество возможных вариантов для той или иной ситуации. Например, сколько позиций может возникнуть на шахматной доске после первого хода обоих игроков? Сколько разных паролей длиною в десять символов можно записать, если ни один символ не использовать дважды? Сколько разнообразных комбинаций чисел может выпасть при игре в лотерею «6 из 49»? На все эти вопросы помогает ответить специальный раздел математики, называемый комбинаторикой. Почти всегда комбинаторную задачу можно сформулировать так, чтобы ее вопрос начинался словами «сколькими способами…».

Очевидно, что если в конечном множестве содержится n элементов, то есть ровно n способов выбрать один из них.

Пример. В классе 15 человек. Сколькими способами учитель может назначить одного из них ответственным за чистоту доски?

Ответ. Таких способов ровно 15.

В комбинаторике существует два основных правила. Первое из них называется правилом сложения.

Несмотря на формулировку, по сути это очень простое правило.

Пример. В магазине продается 14 телевизоров Panasonic и 17 телевизоров Sony. Петя хочет купить один телевизор. Сколько у него вариантов покупки?

Решение. По правилу сложения Петя может выбрать один из 14 + 17 = 31 телевизоров.

Ответ: 31 телевизор.

Особое значение имеет второе правило, которое называют правилом умножения.

Проиллюстрируем это правило.

Решение. Тренер может составить 15•20= 300 разнополых пар из своих воспитанников.

Пример. Пете нужно купить технику для компьютера. В магазине продается 20 различных клавиатур, 25 моделей геймпадов и 30 компьютерных мышей. Купить надо по одному экземпляру каждого из этих устройств. Сколько вариантов покупки есть у него?

Решение. Сначала подсчитаем число возможных пар «клавиатура-геймпад». Их количество равно 20•25 = 500. Теперь составим «тройку» из одной из 500 пар и одной из 30 мышей. Число троек равно 500•30 = 15000.

Правила сложения и умножения можно комбинировать.

Пример. Сколько слов не более чем из трех букв можно составить, используя алфавит, содержащий ровно 30 букв?

Решение. Очевидно, что слов из одной буквы можно составить ровно 30. Количество двухбуквенных слов равно количеству пар, которые можно составить из этих букв, то есть 30•30 = 900. Трехбуквенных слов можно составить 30•30•30 = 27000. Всего же слов длиною не более 3 букв будет

30 + 900 + 27000 = 27930

Далее мы изучим основные понятия комбинаторики – перестановки, размещения, сочетания.

Перестановки

Рассмотрим простейшую комбинаторную задачу. На полке расставляют по порядку книги. Их ставят вертикально друг за другом. Сколькими способами можно расставить на полке 2 книги? Очевидно, что двумя:

Либо синяя книжка будет первой слева, либо она будет находиться в конце полки, третьего варианта здесь нет. Здесь условно считается, что варианты, когда между книгами есть зазоры, идентичны вариантам без зазоров:

То есть нас интересует исключительно порядок, в котором стоят книги. Каждый из найденных вариантов называется перестановкой книг. Перестановкой называют любое конечное множество, для элементов которого указан порядок элементов.В комбинаторике перестановки являются одними из основных объектов изучения.

Например, если в забеге на 100 метров стартует 8 спортсменов, то они образуют множество участников забега. После финиша становится известно, кто занял 1-ое место, кто оказался вторым или третьим, а кто стал последним. Результат забега будет перестановкой, ведь он представляет собой список спортсменов с указанием их мест, то есть он определяет порядок между ними.

Вернемся к примеру с книгами. Обозначим количество возможных перестановок n элементов как Р_n. Две книжки можно расставить двумя разными способами, поэтому Р₂ = 2. Обозначим эти перестановки как АБ и БА. Сколько способов расстановки есть в случае трех книжек? Их все можно получить из вариантов с 2 книжками, добавляя между ними книгами ещё один том:

Видно, что между 2 книгами есть три позиции, на которые можно поставить 3-ий том. Общее количество вариантов равно произведению числа этих позиций и количества вариантов для 2 книг, то есть Р₃ = 3•Р₂ = 3•2 = 6:

Итак, мы имеем 6 перестановок для 3 книг:

А сколько перестановок существует для 4 книг? Снова-таки, между тремя книгами 4-ый том можно поставить четырьмя способами:

То есть из перестановки трех книг АБВ можно получить 4 перестановки:

Всего существует 6 перестановок для 3 книг (Р₃ = 6), и для каждой из них можно построить 4 перестановки из 4 книг. Получается, что общее количество перестановок 4 книг равно

Продолжая подобные рассуждения, можно убедиться, что количество перестановок 5 предметов в 5 раз больше, чем перестановок для 4 объектов:

И вообще, если число перестановок n объектов равно Р_n, то количество перестановок (n + 1)объекта равно в (n + 1)раз больше:

При этом отметим, что 1 книгу можно расставить на полке только одним способом:

То есть Р₁ = 1. Теперь выпишем значения чисел Р при разном количестве переставляемых предметов, используя формулуР_n+1 = (n + 1)Р_n

Видно, что количество перестановок n объектов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n. В математике есть специальная функция для вычисления значения этого произведения. Она называется факториалом и обозначается восклицательным знаком.

Например, факториал 6 вычисляется так:

Мы убедились на примере с книгами, что количество перестановок из n различных объектов, которое обозначается как Р_n, равно n!.

Относительно факториала надо заметить несколько важных моментов. Во-первых, очевидно, что факториал единицы равен 1:

Во-вторых, иногда в комбинаторных задачах приходится вычислять факториал нуля. По ряду соображений эта величина также принимается равной единице

Объяснить это можно так. Факториал числа можно представить как произведение этого числа и факториала предыдущего числа, например:

5! = 1•2•3•4•5 = (1•2•3•4)•5 = 4!•5

7! = 1•2•3•4•5•6•7 = (1•2•3•4•5•6)•7 = 6!•7

В общем случае формула выглядит так:

Из неё несложно получить, что

Подставив в эту формулу единицу, получим

Пример. Сколькими способами тренер может расставить 4 участников эстафеты 4х400 м по этапам эстафеты?

Решение. Количество таких способов равно числу перестановок 4 различных объектов Р₄:

Пример. Вася решил изучать сразу 7 иностранных языков, причем на занятия по каждому из них он собирается выделить ровно один день в неделе. Сколько вариантов расписаний занятий может составить себе Вася?

Решение. В данном случае расписание занятий – это порядок, в котором Вася в течение недели будет изучать иностранные языки, например:

Такое расписание можно описать последовательностью символов:

Ф, Ан, И, К, Я, Ар, П

Создавая расписание, Вася переставляет 7 языков, поэтому общее количество расписаний равно 7!:

Пример. Сколько пятизначных цифр можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4, причем каждую не более одного раза?

Решение. Общее количество перестановок 5 цифр составляет Р₅. Однако нельзя начинать запись числа с нуля. Так как, перестановка 12340 – это пятизначное число (двенадцать тысяч триста сорок), а перестановка 03241 – не является пятизначным числом.

Расстановок, начинающихся с нуля, ровно Р₄, поэтому общее количество допустимых цифр равно Р₅ – Р₄:

Р₅ – Р₄ = 5! – 4! = 120 – 24 = 96

Пример. На полке расставляют 7 книг, однако 3 из них образуют трехтомник. Тома трехтомника должны стоять друг за другом и в определенном порядке. Сколько существует способов расстановки книг?

Решение. Будем считать трехтомник одной книгой. Тогда нам надо расставить 5 книг

Пример. Необходимо расставить 7 книг на полке, но три из них принадлежат одному автору. Их надо поставить друг с другом, но они могут стоять в любом порядке. Сколько возможно перестановок книг.

Решение. Снова будем считать три книги как один трехтомник. Получается, что существует 5! = 120 вариантов. Однако каждому из них соответствует 3! = 6 расстановок книг внутри трехтомника, например:

В итоге на каждую из 120 расстановок приходится 6 вариантов расстановки трехтомника, а общее число расстановок равно, согласно правилу умножения, произведению этих чисел:

Перестановки с повторениями

До этого мы рассматривали случаи, когда все переставляемые объекты были различными. Однако порою некоторые из них не отличаются друг от друга. Пусть на полке надо расставить 3 книги, но две из них одинаковые. Сколько тогда существует перестановок? Общее число перестановок 3 книг составляет 3! = 6:

Здесь одинаковые книги отмечены как А и А1. Очевидно, что 1-ый и 2-ой варианты (А1АБ) и (АА1Б) на самом деле не отличаются друг от друга. В них отличается лишь порядок одинаковых книг А и А1. В первом случае за А1 следует А, а во втором, наоборот, за А следует А1. Тоже самое можно сказать про варианты 3 и 4, 5 и 6. Получается, что все возможные перестановки можно разбить на группы, в которых находятся «перестановки-дубликаты»:

В каждой группе находится ровно по два «дубликата». Почему именно по два? Это число равно количеству перестановок одинаковых книг. Так как одинаковых томов 2, а Р₂ = 2, то в каждой группе по 2 «дубликата». Действительно, если бы мы «убрали» с полки все книги, кроме повторяющихся, то там осталось бы только 2 одинаковых тома, которые можно переставить двумя способами.

Для того чтобы найти количество «оригинальных» перестановок, надо их общее количество поделить на число дубликатов в каждой группе.

Пусть теперь надо расставить 4 книги, из которых 3 одинаковы. Обозначим тома как А, А1, А2 и Б. Всего можно записать 4! = 24 перестановки. Однако каждые 6 из них будут дублировать друг друга. То есть их можно разбить на группы, в каждой из которых будет 6 идентичных «дубликатов»:

1-ая группа: БАА1А2, БАА2А1, БА1АА2, БА1А2А, БА2АА1, БА2А1А

2-ая группа: АБА1А2, АБА2А1, А1БАА2, А1БА2А, А2БАА1, А2БА1А

3-ая группа: АА1БА2, АА2БА1, А1АБА2, А1А2БА, А2АБА1, А2А1БА

4-ая группа: АА1А2Б, АА2А1Б, А1АА2Б, А1А2АБ, А2АА1Б, А2А1АБ

И снова для подсчета числа оригинальных перестановок надо из общее число расстановок поделить на количество дубликатов в каждой группе:

Для обозначения перестановок с повторениями используется запись

где n – общее количество объектов, а n₁, n₂, n₃,… n_k – количество одинаковых элементов. Например, в задаче с 4 книгами мы искали величину Р₄(3, 1), потому что всего книг было 4, но они были разбиты на две группы, в одной из которых находилось 3 одинаковых тома (буквы А, А1, А2), а ещё одна книга (Б) составляла вторую группу. Мы заметили, что для вычисления числа перестановок с повторениями надо общее число перестановок делить на количество дублирующих перестановок. Формула в общем случае выглядит так:

Пример. Вася решил, что ему стоит изучать только два иностранных языка. Он решил 4 дня в неделю тратить на английский, а оставшиеся три дня – на испанский. Сколько расписаний занятий он может себе составить.

Решение. Вася должен расставить 3 урока испанского и 4 урока английского, тогда n₁ = 3, а n₂ = 4. Общее количество уроков равно 3 + 4 = 7. Тогда

Обратите внимание, что для удобства при делении факториалов мы не вычисляли их сразу, а пытались сократить множители. Так как в ответе любой комбинаторной задачи получается целое число, то весь знаменатель дроби обязательно сократится с какими-нибудь множителями в числителе.

Пример. У мамы есть 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин. Эти фрукты она распределяет между 6 детьми. Сколькими способами она может это сделать, если каждый должен получить по фрукту?

Решение. Всего есть три группы фруктов. В первой находится 3 яблока, поэтому n₁ = 3. Во второй группе 2 банана, поэтому n₂ = 2. В третьей группе только 1 апельсин, поэтому n_k = 1. Общее число фруктов равно 6. Используем формулу:

В знаменателе формулы для перестановок с повторениями мы записываем число объектов в каждой группе одинаковых предметов. Так, если переставляются 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин, то в знаменателе мы пишем 3!•2!•1!. Но что будет, если в каждой группе будет находиться ровно один уникальный объект? Тогда мы запишем в знаменателе произведение единиц:

В итоге мы получили ту же формулу, что и для перестановок без повторов. Другими словами, перестановки без повтора могут рассматриваться просто как частный случай перестановок с повторами.

Размещения

Пусть в футбольном турнире участвуют 6 команд. Нам предлагают угадать те команды, которые займут призовые места (то есть первые три места). Сколько вариантов таких троек существует?

Сначала запишем ту команду, которая выиграет турнир. Здесь есть шесть вариантов, по количеству участвующих команд. Запишем эти варианты:

Далее выберем один из вариантов и для него укажем серебряного призера соревнований. Здесь есть только 5 вариантов, ведь 1 из 6 команд уже записана на 1-ом месте:

Такую пятерку можно записать для каждого из шести вариантов того, кто станет чемпионом. Получается, что всего есть 6•5 = 30 пар «чемпион – серебряный призер». Наконец, для одной такой пары можно записать 4 варианта того, кто окажется третьим (две команды писать нельзя, так как они уже записаны на первых двух строчках):

Для каждой пары можно записать 4 тройки призеров. Так как число пар «чемпион – вице-чемпион» равно 6•5 = 30, то число троек составит 6•5•4 = 120.

В данном случае из некоторого множества команд мы выбрали несколько и расположили их в каком-то порядке. То есть мы выбрали упорядоченное множество. В комбинаторике оно называется размещением.

Если общее число команд обозначить как n (в этом примере n = 6), а количество упорядочиваемых команд равно k, то количество таких размещений в комбинаторике обозначается как

В примере с командами количество размещений равнялось 120:

Читается эта запись как «число размещений из 6 по 3 равно 120».

Для нахождения этого числа мы перемножили k (3)множителей. Первый из них был равен n(6), так как каждая из n команд могла занять первая место. Второй множитель был равен (n– 1), так как после определения чемпиона мы могли поставить на вторую позицию одну из (n– 1) команд. Третий множитель был равен (n– 2). По этой логике каждый следующий множитель будет меньше предыдущего на единицу. Например, чтобы вычислить число размещений из 7 по 4, надо перемножить 4 множителя, первый из которых равен 7, а каждый следующий меньше на 1:

Однако математически удобнее представлять это произведение как отношение двух факториалов. Для этого умножим количество размещений на дробь 3!/3!, равную единице. Естественно, число размещений из-за умножения на единицу не меняется:

Число 3 в данном случае можно получить, если из 7 вычесть 4. В общем случае из числа n надо вычесть число k. Тогда формула для вычисления количества размещений примет вид:

Пример. В программе 8 «А» класса 12 различных предметов. В понедельник проводится 5 занятий подряд. Сколько существует вариантов расписаний для класса, если в течение понедельника нельзя проводить два одинаковых урока?

Решение. Для составления расписания нужно выбрать 5 предметов и расставить их по порядку. Поэтому нам необходимо найти размещение из 12 по 5:

Пример. В вагоне 10 свободных мест. В него зашло 6 пассажиров. Сколькими способами они могут расположиться в вагоне?

Решение. Из десяти мест надо выбрать шесть и указать для каждого, какому пассажиру оно соответствует. То есть каждый вариант рассадки пассажиров – это размещение из 10 по 6. Найдем их количество:

Заметим, что перестановка – это частный случай размещения, когда k = n. Действительно, если нам надо указать тройку призеров турнира, в котором участвуют 6 команд, то мы указываем размещение из 6 по 3. Но если мы указываем для каждой из 6 команд, какое место она займет в чемпионате, то это размещение из 6 по 6. С другой стороны, это расстановка одновременно является и перестановкой 6 команд. Убедимся, что в этом частном случае формула для подсчета количества размещений покажет тот же результат, что и формула для перестановок

Для примера с 6 командами это будет выглядеть так:

Здесь мы использовали тот факт, что факториал нуля принимается равным единице. Данное рассуждение можно, наоборот, использовать для того, чтобы доказать, что факториал нуля – это единица.

Сочетания

Выбирая размещение, мы должны были выбрать из множества несколько объектов и упорядочить их. В частности, мы выбирали три команды из шести и указывали, какая из них будет первой, какая второй, а какая третьей. Поэтому размещения «Локомотив, Зенит, Краснодар» и «Локомотив, Краснодар, Зенит» отличались друг от друга.

Однако порою этот порядок не имеет значения. Так, существует известная лотерея, где предлагается угадать 7 чисел из 49, которые выпадут во время розыгрыша из барабана. При этом порядок их выпадения не играет никакой роли. Игрок, выбирая эти 7 чисел, с точки зрения математики формирует сочетание из 49 по 7.

Количество возможных сочетаний из n по k обозначается буквой С:

Для вычисления количеств сочетаний из n по k сначала найдем количество аналогичных размещений. Оно вычисляется по формуле:

Однако ясно, что, как и в случае с перестановками с повторениями, некоторые сочетания мы посчитали несколько раз. Вернемся к примеру с командами. Если мы выбрали команды Л (Локомотив) , З (Зенит) и К (Краснодар), то мы можем составить ровно 3! = 6 размещений из них:

Однако все они соответствуют только одному сочетании – ЛКЗ. Таким образом, считая количество размещений, мы посчитали каждое сочетание не один, а 3! раз. Поэтому для нахождения количества сочетаний в комбинаторике надо поделить число размещений на число перестановок k элементов:

Эта формула связывает важнейшие понятия комбинаторики – перестановки, сочетания и размещения. Подставим в неё формулы для размещений и перестановок и получим:

Пример. Сколько троек призеров турнира можно составить, выбирая три футбольные команды из шести?

Решение. Посчитаем число сочетаний из 6 по 3:

Пример. Сколько комбинаций чисел может составить игрок, играющий в лотереи «5 из 36», «6 из 45», «7 из 49»?

Решение. В каждом из этих случаев игрок выбирает сочетание нескольких чисел. Посчитаем их число:

Ответ: 376992; 8145060; 85900584

Пример. На плоскости отмечены 8 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через них? Сколько треугольников и четырехугольников можно построить с вершинами в этих точках?

Решение. Для того чтобы провести прямую, достаточно выбрать любые 2 точки из 8. Общее количество прямых будет равно числу сочетаний из 8 по 2:

Заметим принципиальную важность того условия, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Оно гарантирует, что при выборе двух различных точек мы будем получать различные прямые. Если бы, например, точки АВС лежали бы на одной прямой, то при выборе сочетаний АВ, ВС и АС мы получали бы одну и ту же прямую:

Это же условие гарантирует, что, выбрав любые 3 и 8 точек, мы сможем построить треугольник с вершинами в этих точках, а выбрав 4 точки, получим четырехугольник. Поэтому для подсчета количества треугольников и четырехугольников следует искать число сочетаний по 3 и 4:

Ответ: 28 прямых, 56 треугольников и 70 четырехугольников.

Пример. В одной урне находится 10 различных шаров с номерами от 0 до 9, а в другой – 8 различных шаров с первыми восемью буквами алфавита. По условиям лотереи ведущий вытаскивает из первой урны два шара с числами, а из второй – три шара с буквами. Для победы в лотерее надо угадать выпавшие шары. Сколько комбинаций шаров может выпасть в игре?

Решение. Посчитаем отдельно, сколькими способами можно выбрать 2 шара с цифрами из 10 и 3 шара с буквами из 8:

По правилу умножения мы должны перемножить эти числа, чтобы найти общее количество возможных вариантов:

Заметим, что выбирая, например, сочетание из 49 по 7, мы одновременно выбираем и сочетание из 49 по 49 – 7 = 42. Действительно, игрок, обводящий в кружок в лотерейном билете свои 7 счастливых чисел, одновременно и определяет остальные 42 числа, какие числа он НЕ считает счастливыми. Для наглядности запишем число сочетаний в обоих случаях:

Получили одну и ту же дробь, в которой отличается лишь последовательность множителей в знаменателе. Можно показать, что и в общем случае число сочетаний из n по k совпадает с количеством сочетаний из n по (n– k):

315. а) Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трёх сестёр? Вера ответила, что ей и Наде. Никольский С.М. Математика 5 класс

315.
а) Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трёх сестёр? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестёр?
б) На XXII Олимпийских играх в Москве (1980 г ) спортсмены СССР получили 195 медалей, из них 126 золотых и бронзовых. 149 золотых и серебряных. Сколько золотых, серебряных и бронзовых медалей в отдельности получили спортсмены СССР?

Марта Серафимовна

Пожаловаться

Вычисли сколькими различными способами учитель может вызвать к доске риту санту марию настю веру

Комбинаторика для начинающих. МФТИ. Разбор ряда задач недель 2-3

Эти недели были о тех самых четырёх формулах сочетания и размещения.

Жених и невеста выбирают трехъярусный свадебный торт. На выбор имеются 5 типов ярусов (бисквитный, йогуртовый, чизкейк и т.д.). Сколько различных тортов может предложить кондитер, если бисквитных ярусов может быть не больше двух, а ярусов любого другого типа не больше одного?
Ответ: 72.
Решение: используем правило сложения и суммируем результаты по трём вариантам - бисквитных ярусов нет, он один, их два.
Если их нет, мы просто размещаем по трём слоям четыре типа. Нам нельзя иметь более одного одинакового слоя из оставшихся. Это размещение без повторений из 4 по 3. Равно 24.
Один ярус может быть занят 3 способами, кроме того, каждому варианту соответствует размещение из 4 уже по 2. Это 3*12=36.
Наконец, бисквитных ярусов два. Они так же могут быть в составе торта 3 способами (чисто интуитивно 1-2, 2-3, 3-1) и им соответствует размещение уже из 4 по 1. 3*4=12.
Итого 24+36+12=72.

У королевы есть 12 одинаковых зеркал. Сколькими способами их можно повесить в 8 разных залах замка так, чтобы в каждом зале было хотя бы одно зеркало?
Ответ: 330.
Решение: внимательно прочитайте - ХОТЯ БЫ одно зеркало. То есть, или одно или два. Здесь нельзя вслепую выбрать сочетание (а порядок не важен и количество зеркал ограничено) 8 из 12. Нет.
Залов меньше, чем зеркал. Очевидно, будут залы с не одним зеркалом.
"Первые восемь" зеркал мы уже, давайте считать, повесили. Уточнение - да, залы разные, но сами зеркала одинаковые. Эти восемь взяли и повесили и, как потом не меняй их местами, суть не меняется.
А вот оставшиеся зеркала это уже другой вопрос. Их 4.
У нас есть 4 оставшихся зеркала. И 8 залов. Мы не обязаны раскидывать эти зеркала равномерно или через раз или ещё как. Мы вообще можем их все отнести в один зал. Это тонкий момент - если мы эти четыре зеркала можем отнести в один зал, то этот зал ПОВТОРЯЕТСЯ. Но при этом порядок тут не имеет значения.
Как вы уже догадываетесь - это сочетание с повторениями. Надо выбрать, в какой из восьми залов нести четыре зеркала. То есть, тут мы выбираем, по сути зал. Они разные, а зеркала одинаковые. Стало быть, это сочетание из 8 по 4 с повторами.

Сколькими способами в течение 5 дней можно выбирать на дежурство по 4 ученика из класса в 20 человек так, чтобы каждый день состав дежурных был разным?
Ответ: скрин.
Решение: легче, чем кажется. Без привязки к дням - как можно выбрать дежурных? Сочетание без повторений из 20 по 4. А дальше? А дальше просто из каждого нового дня вычитаем вариант, который был вчера. А затем это все умножить, ведь надо знать количество способов всего. И обратите внимание, как ловко сочетания тут свернулись в размещения.

Читайте также: