Концептуальные модели фундамент математических моделей

Обновлено: 18.05.2024

Математическое моделирование систем «Здание – фундамент – грунтовое основание» Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Аннотация научной статьи по строительству и архитектуре, автор научной работы — Гусев Георгий Николаевич, Ташкинов Анатолий Александрович

Рассмотрены проблемы определения толщины сжимаемого слоя основания при математическом моделировании систем «здание – фундамент – основание» на фундаментных плитах больших размеров. Представлены результаты определения толщины сжимаемого основания численными методами и по аналитической методике.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Mathematical simulation of the building – foundaition – soil systems

This work addresses the problems of the deformed basis layer thickness assigning in the mathematical modeling of the building – foundation – soil systems on large foundation plates. It also contains the comparison of deformed soil layer thickness computation results for two methods: numerical and analytical.

Текст научной работы на тему «Математическое моделирование систем «Здание – фундамент – грунтовое основание»»

Механика деформируемого твёрдого тела

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ «ЗДАНИЕ - ФУНДАМЕНТ - ГРУНТОВОЕ ОСНОВАНИЕ»

Г. Н. Гусев, А. А. Ташкинов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

614990, Россия, Пермь, Комсомольский пр-т, 29.

Рассмотрены проблемы определения толщины сжимаемого слоя основания при математическом моделировании систем «здание - фундамент - основание» на фундаментных плитах больших размеров. Представлены результаты определения толщины сжимаемого основания численными методами и по аналитической методике.

Ключевые слова: линейно-деформируемое полупространство, двухпараметрическое упругое основание, вычислительный эксперимент, CAE ANSYS.

где (/ — удельное давление; F — площадь, на которую действует распределённая нагрузка; w — интегральный коэффициент, постоянный для данной формы площади основания и местоположения рассматриваемой точки; С = Е/( 1 — г/2); Е — модуль упругости; у — коэффициент Пуассона.

Из (1) следует, что при фиксированном давлении на основание теоретическая величина вертикальных перемещений в центре фундаментной плиты неограниченно возрастает при увеличении площади самого основания.

Однако в реальных условиях при однородных основаниях для площадей фундаментных плит больше 50 м2 вертикальные перемещения существенно меньше теоретических [1]. Причем расхождение экспериментальных и теоретических значений (1) перемещений в центре приложения нагрузки увеличивается с ростом площади фундамента [1].

Для устранения вычислительного эффекта влияния площади фундамента на вертикальные перемещения при конечно-элементном моделировании в расчёт вводится не упругое полупространство, а сжимаемый слой конечной толщины, ниже которого основание в модели принимается как несжимаемое. При этом толщина слоя, обеспечивающая совпадение расчётных осадок с фактическими (полученными экспериментальным путем), не совпадает с той глубиной, где согласно опытным данным уже не фиксируются перемещения под нагрузкой. Таким образом, проблема определения расчётной толщины сжимаемого слоя при моделировании поведения фундаментной плиты большой площади нетривиальна.

Для расчёта деформируемых фундаментных плит на трехмерном упругом основании применяется модель двухпараметрического упругого основания, в котором отсутствует отмеченный выше эффект влияния площади действующей нагрузки.

Георгий Николаевич Гусев, аспирант, каф. механики композиционных материалов и конструкций. Анатолий Александрович Ташкинов (д.ф.-м.н., проф.), ректор.

Для оценки вертикальных перемещений в центральной области фундаментной плиты достаточно большой площади при почти периодическом (в центральной области) опирании на неё колонн каркаса здания может быть использовано решение следующей модельной задачи. Бесконечная пластинка покоится на упругом основании и несет равноотстоящие и равные нагрузки Р, из которых каждая распределена равномерно по площади и • V прямоугольника (рис. 1).

Рис. 1. Бесконечная пластинка на упругом основании

Вертикальные перемещения ги представляются рядом:

IV = ) ) Атп cos--------cos ——; (2)

Здесь о, Ь — расстояния между центрами приложения нагрузок по осям х, у соответственно; В — цилиндрическая жесткость пластинки; етп = 1 при т ф 0, п ф 0; £тп =0,5 при т ф 0, п = 0 (или т = 0, п ф 0); етп = 0,25 при т = 0, п = 0.

Частный случай А; = 0 отвечает равномерному распределению реакции основания, т.е. схеме «опрокинутого безбалочного перекрытия» [2], нагруженного равномерно с интенсивностью q = Р/аЪ. Из структуры выражений (2) видно, что введение коэффициента постели С\ вместо к как основной деформационной характеристики двухпараметрического упругого основания, отвечающей за интенсивность вертикальной реакции в основании [3], приводит к уменьшению прогибов в пластинке. Согласно исследованиям [4,5], для определения прогибов в пластинке в модели двухпараметрического упругого основания можно принять второй коэффициент постели Со, отвечающий за интенсивность сдвиговых усилий в основании, близким или равным нулю.

Определение коэффициентов постели С\ и Со для решения описанной задачи проводится по методике П. Л. Пастернака [3]. Предложен следующий вычислительный эксперимент по определению данных коэффициентов (рис. 2). Решается задача о вдавливании жесткого штампа радиусом г, находящегося под действием вертикальной нагрузки N, приложенной с эксцентриситетом еп и вызывающей в нижележащем упругом полупространстве под штампом по преимуществу сжимающие напряжения. Учитывая, что полупространство согласно предположению считается линейно деформируемым, можно внецентренную нагрузку N заменить центральной нагрузкой N и моментом М = еп N.

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2 2 32 2ш7Г 2птг

При заданных коэффициентах постели С\ и Со строго аналитически можно определить вертикальные перемещения №о в центре штампа и его угол поворота относительно горизонтальной оси — сад [3]:

где в = \JC\jCo, цо = >’/«; Ко и К\ — модифицированные функции Бесселя второго рода. Из выражения (3) определяется угол поворота штампа и максимальное краевое напряжение в основании:

сггр = го.[)С\ < М/\У = 4М/(тгг3). (4)

Рис. 2. Схема вычислительного эксперимента по определению коэффициентов постели

Выражения (3) и (4) дают возможность решить обратную задачу: по измеренным вертикальным перемещениям в основании штампа и углу поворота вследствие действия нагрузки, приложенной к нему

с эксцентриситетом ео, определить коэффициенты постели С\ и Со для оснований разной жёсткости.

Задача о вдавливании штампа численно решалась с помощью программного комплекса А^УБ. Основание под штампом представлялось изотропным упругим телом. В пользу адекватности применяемой упругой модели говорит тот факт, что решения аналогичных задач в теории упругости давали близкие к практическим результаты [4].

В процессе решения задачи о вдавливании штампа варьировались значения нагрузки N и эксцентриситета ео. Были получены значения коэффициентов постели для оснований различной жёсткости.

Далее, подобно тому, как это делается в методе эквивалентного слоя основания (СНиП 2.02.01-83*«Основания зданий и сооружений»), расчётную толщину сжимаемого слоя основания при моделировании системы «здание - фундамент - основание» возможно определить по результатам расчётов из условия равенства вертикальных перемещений под колонной в центре фундамента, полученной при моделировании основания линейно деформируемой средой, и вертикальных перемещений в том же месте, полученных на основе модели плиты на двухпараметрическом упругом основании [3].

Рассматриваемый подход был использован при конечно-элементном моделировании поведения многоэтажного здания на плитном фундаменте большой площади. Здание — каркасное, монолитное, состоит из трех секций, стоящих на отдельных плитных фундаментах. Фундамент секции здания — монолитная железобетонная плита на естественном основании под сетку колонн. Толщина фундаментной плиты в каждой секции 1 м, размеры секции в плане « 30 х 30 м. Сетка стоящих на плитах колонн неравномерная с шагом от 4 м до 6 м, нагрузка на колонны варьируется от 2000 кН до 7000 кН.

В ходе решения поставленной задачи на программном комплексе А^УБ была сформирована конечно-элементная модель системы «здание - фундамент - основание».

Модули упругости и коэффициенты Пуассона г/0* оснований секций здания считаются постоянными в пределах сжимаемой толщи НСг. Значения осред-ненных величин модулей упругости Еа¿, коэффициентов Пуассона г/0* и мощности сжимаемой толщи Нс определяются согласно соответствующим формулам приложений 2 и 4 СНиП 2.02.01-83*«Основания зданий и сооружений» и положений СП 50-101-2004 «Проектирование и устройство оснований и фундаментов зданий и сооружений».

Полученные в расчётах методом конечных элементов системы «здание - фундамент - основание» вертикальные перемещения фундаментных плит здания составили «;тах = 6,1 см (рис. 3).

-0,061 -0,047 -0,033 -0,019 -0,006

Рис. 3. Вертикальные перемещения (изополя) в основании фундаментной плиты, м. Цифрами обозначены секции фундаментной плиты U, тах = 6,1 см

При оценке вертикальных перемещений описанным выше аналитическим методом, учитывая, что в соответствии с соотношением (2) перемещение обратно пропор-ционалено площади ячейки, принята сетка колонн 5x4 м. Наибольшие вертикальные перемещения основания по расчёту выявлены в центральной части фундаментной плиты третьей секции здания, под колонной, несущей нагрузку 6750 кН, и составляют wmax = 5,5 см, что весьма близко к полученному численным путем результату.

Различие величин наибольших вертикальных перемещений основания, полученных по схеме сжимаемого слоя численно на программном комплексе ANSYS и вычисленных по аналитическим формулам для модели плиты на упругом двухпараметрическом основании, составляет 10 %, что подтверждает правильность выбора расчётной толщины сжимаемого слоя при решении задачи методом конечных элементов.

Все выкладки, начиная с определения первого коэффициента постели основания С1, проводились в сторону завышения возможных перемещений фундаментной плиты. Поэтому полученные значения являются оценками наибольших вертикальных перемещений при принятых осредненных значениях коэффициентов постели.

1. Береснев A.C., Большаков А.Ю., Гусев Г. H., Коркодинов В. В., Пименов Б.Н. Расчёт осадок многоэтажных зданий на гибких плитных фундаментах большой площади // Международный журнал по расчёту гражданских и строительных конструкций, 2008. Т. 4, №2. С. 34-34. [Beresnev A. S., Bol’shakov А. Yu., Gusev G.N., Korkodinov V. V., Pimenov В. N. Computation of settlings of high-rise building on a flexible large-area plate foundation // International Journal for Computational Civil and Structured Engineering, 2008. Vol. 4, no. 2. Pp. 34-34].

3. Пастернак П. Л. Основы нового метода расчёта фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. М.: Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1954. 55 с. [Pasternak P. L. On a. New Method of Analysis of

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

an Elastic Foundation by Means of two Foundation Constants. Moscow: Gosudarstvennoye izdatel’stvo literatury po stroitel’stvu i arkhitekture, 1954. 55 pp.]

4. Манвелов Л. И., Бартошевич Э. С., Минеева Л. А. Экспериментальное исследование деформационных свойств грунтов в полевых условиях/ В сб.: Тр. НИАИ ВВС. Т. 81. М.: НИАИ ВВС, 1958. С. 83. [Manvelov L. Bartoshevich Е. S., Mineyeva L. A. Experimental study of soil deformation properties under field conditions / In: Tr. NIAI VVS. Vol. 81. Moscow: NIAI VVS, 1958. Pp. 83].

5. Манвелов Л. И. Расчёт балок на упругом основании с двумя коэффициентами постели и экспериментальное обоснование расчётной модели основания / В сб.: Тр. НИАИ ВВС. Т. 56. М.: НИАИ ВВС, 1958. С. 96. [Manvelov L. I. Analysis of beams on elastic foundation with two coefficients bed and experimental justification of the calculation model base / In: Tr. NIAI VVS. Vol. 56. Moscow: NIAI VVS, 1958. Pp. 96].

Поступила в редакцию 25/X/2012; в окончательном варианте — 19/XI/2012.

MSC: 74L10; 74S05

MATHEMATICAL SIMULATION OF THE BUILDING - FOUNDAITION - SOIL SYSTEMS

G. N. Gusev, A. A. Tashkinov

Perm State National Research Polytechnical University,

29a, Komsomolskiy prospekt, Perm, Russia, 614990.

This work addresses the problems of the deformed basis layer thickness assigning in the mathematical modeling of the building - foundation - soil systems on large foundation plates. It also contains the comparison of deformed soil layer thickness computation results for two methods: numerical and analytical.

Key words: linearly deformed half-space, two-parameter elastic base, numerical experiment, CAE ANSYS.

Original article submitted 25/X/2012; revision submitted 19/XI/2012.

Ceorgi N. Gusev, Postgraduate Student, Dept, of Mechanics of Composition Materials & Structures. Anatoliy A. Tashkinov (Dr. (Phys. & Math.)), Rector.

Этапы экономико-математического моделирования систем

Как свидетельствует экономическая теория, в экономике действуют устойчивые количествен-ные закономерности, поэтому возможно их строго формализованное математическое описание, построение математических моделей.

Модель – это объект, который замещает оригинал и отражает наиболее важные для данного исследования черты и свойства оригинала. Модель, представляющая собой совокупность математических соотношений, называется математической.

Можно отметить две особенности экономики как объекта моделирования.

1. В экономике невозможны модели подобия, которые применяются в технике. Например, в гидротехнике широко используется следующий прием: строится точная копия гидроузла (скажем, в масштабе 1:1000) и на этой копии отрабатываются все режимы его работы. Однако нельзя построить точную копию экономики в масштабе 1:1000 и на этой копии отрабатывать различные варианты экономической политики.

2. В экономике крайне ограничены возможности локальных экономических экспериментов, поскольку все ее части жестко взаимосвязаны друг с другом и, следовательно, “чистый” эксперимент невозможен.

Прямые эксперименты с экономикой имеют как положительную, так и отрицательную сторону. Положительная сторона состоит в том, что сразу видны краткосрочные результаты проводимой экономической политики. Отрицательный момент заключается в том, что очень трудно предсказать долгосрочные последствия принимаемых экономических решений. Предвидеть такие последствия можно лишь на основе концептуальных моделей развития экономики, опирающихся на прошлый опыт. Концептуальные модели и составляют фундамент математических моделей.

Математическое моделирование экономических систем– описание знаковыми математи-ческими средствами экономических систем.

Математические модели и методы стали необходимым элементом современной экономической теории. Использование математического моделирования в экономике позволяет:

1) формально описать наиболее важные связи экономических переменных и объектов;

2) использовать методы дедукции для адекватных выводов из четко сформулированных исходных данных;

3) использовать методы математики и статистики для получения новых знаний об объекте;

4) излагать точно и компактно на языке математики положения экономической теории.

Математические модели использовались с иллюстративными и исследовательскими целями еще Ф. Кенэ, А. Смитом, Д. Рикардо. В ХIX веке большой вклад в моделирование рыночной экономики внесла математическая школа (Л. Вальрас, О. Курно, В. Парето, Ф. Эджворт и т.д.).
В ХХ веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их исполь-зованием связаны многие работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Д. Хикс,
Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон и др.).

В России в начале ХХ века большой вклад в математическое моделирование внесли
В. Дмитриев и Е. Слуцкий. В 60-80-е годы после почти тридцатилетнего перерыва экономико-математическое направление возродилось (В. Немчинов, В. Новожилов, Л. Канторович, ЦЭМИ РАН), но было в основном связано с попытками формально описать “систему оптимального функционирования социалистической экономики”. Строились многоуровневые системы моделей народнохозяйственного планирования, оптимизационные модели отраслей и предприятий. Сейчас важной задачей является моделирование процессов переходного периода.

Любое экономическое исследование предполагает объединение теории (экономической модели) и практики (статистических данных). Теоретические модели используются для описания и объяснения наблюдаемых процессов; эмпирическое построение и обоснование модели происходит на базе статистических данных.

Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие изучаемое явление, и отбрасывают детали, не существенные для решения поставленной проблемы. Формализация основных особенностей функционирования экономических объектов позволяет оценить возможные последствия воздействий на них и использовать эти оценки в управлении.

Построение экономико-математической модели происходит в несколько этапов:

1) формулировка предмета и цели исследования;

2) выявление структурных и функциональных элементов, их качественных характеристик;

3) словесное описание взаимосвязей между элементами модели;

4) формализация описательной модели;

5) расчеты по математической модели и анализ полученного решения.

Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. Предсказание будущих изменений, например повышение обменного курса, ухудшение экономической конъюнктуры, падение прибыли, может опираться лишь на интуицию. Однако при этом могут быть упущены, неправильно определены или неверно оценены важные взаимосвязи экономических показателей, влияющие на рассматриваемую ситуацию. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более качественный и надежный прогноз.

По своему определению любая экономическая модель абстрактна и, следовательно, неполна, поскольку, выделяя наиболее существенные факторы, определяющие закономерности функционирования рассматриваемого экономического объекта, она абстрагируется от других факторов, которые, несмотря на свою относительную малость, все же в совокупности могут определять не только отклонения в поведении объекта, но и само его поведение. Так, в простейшей модели спроса считается, что величина спроса на какой-либо товар определяется его ценой и доходом потребителя. На самом же деле на величину спроса оказывает также влияние ряд других факторов: вкусы и ожидания потребителей, цены на другие товары, воздействие рекламы, моды и так далее. Обычно предполагают, что все факторы, не учтенные явно в экономической модели, оказывают на объект относительно малое результирующее воздействие в интересующем нас аспекте. Состав учтенных в модели факторов и ее структура могут быть уточнены в ходе совершенствования модели.

Математическая модель экономического объекта – это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Гомоморфное отображение объединяет группы отношений элементов изучаемого объекта в аналогичные отношения элементов модели. Иными словами, модель – это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования. Предполагается, что изучение модели дает новые знания об объекте либо позволяет определить наилучшие решения в той или иной ситуации.

Для описания основных видов элементов экономической модели рассмотрим конкретную ситуацию и построим соответствующую ей модель.

Пусть имеется фирма, выпускающая несколько видов продукции. В процессе производства используются три вида ресурсов: оборудование, рабочая сила и сырье. Эти ресурсы однородны, количества их известны и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Задан расход каждого из ресурсов на производство единицы продукции каждого вида. Заданы цены продуктов. Нужно определить объемы производства с целью максимизации стоимости произведенной продукции (или, в предположении, что вся она найдет сбыт на рынке – общей выручки от реализации).

Для решения поставленной задачи нужно построить математическую модель, наполнить ее информацией, а затем провести по ней необходимые расчеты. Вначале при построении модели нужно определить индексы, экзогенные и эндогенные переменные и параметры. В нашей задаче свой индекс должен иметь каждый вид продукции (пусть это индекс i, меняющийся от 1 до n), а также вид ресурсов (если мы обозначаем их одной переменной; пусть в нашей задаче ресурсы обозначены разными переменными). Далее опишем экзогенные переменные – те, которые задаются вне модели, т.е. известны заранее, и параметры – это коэффициенты уравнений модели. Часто экзогенные переменные и параметры в моделях не разделяют. В рассматриваемой задаче заданы экзогенные переменные – это имеющиеся количества оборудования - К, рабочей силы - L и сырья - R; заданы параметры – коэффициенты их расхода на единицу i-й продукции k_i, l_i и i, соответственно. Цены продуктов р_i также известны.

Далее вводятся обозначения для эндогенных переменных – тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не задаются в ней извне. В нашем случае это неизвестные объемы производства продукции каждого i-го вида; обозначим их через х.

Закончив описание переменных и параметров, переходят к формализации условий задачи, к описанию ее допустимого множества и целевой функции (если таковая имеется). В нашей задаче допустимое множество – это совокупность всех вариантов производства, обеспеченных имеющимися ресурсами. Оно описывается с помощью системы неравенств:

К этим ограничениям по ресурсам добавляются требования неотрицательности переменных
х > 0. Если бы какой-то ресурс нужно было израсходовать полностью (например, полностью занять всю рабочую силу), соответствующее неравенство превратилось бы в уравнение.

Если модель является оптимизационной (а данная модель такова), то наряду с ограничениями должна быть определена целевая функция, т.е. максимизируемая или минимизируемая величина, отражающая интересы принимающего решение субъекта. Для данной задачи максимизируется величина:

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение (ЛПР). В действительности, по крайней мере:

1) ресурсы до некоторой степени взаимозаменяемы;

2) затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску (есть постоянные затраты, не связанные с объемом выпуска; предельные затраты меняются);

3) объемы ресурсов не строго фиксированы, они могут покупаться и продаваться, браться или сдаваться в аренду;

4) внутри каждого вида ресурсов можно выделить составляющие, функционально или качественно различные, в той или иной мере заменяющие или дополняющие друг друга и по-разному влияющие на объем выпуска;

5) цена продукта может зависеть от объема его реализации, то же касается цены ресурса;

6) фирма может использовать одну из конечного набора технологий (или сочетание нескольких таких технологий), характеризующихся определенными сочетаниями используемых ресурсов;

7) различные единицы получаемой прибыли могут иметь разную ценность для лица, принимающего решение (что обусловлено, например, особенностями налоговой системы);

8) интересы и предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли, поэтому целевая функция должна учитывать и другие количественные и качественные показатели;

9) для субъекта реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени, важны динамические взаимосвязи;

10) на ситуацию могут воздействовать случайные факторы, которые необходимо принять во внимание.

Процесс математического моделирования

Отличительной особенностью математических моделей, создаваемых в настоящее время, является их комплексность, связанная со сложностью моделируемых объектов. Это приводит к усложнению модели и необходимости совместного использования нескольких теорий из разных областей знания, применения современных вычислительных методов и вычислительной техники для получения и анализа результатов моделирования. В случае сложных объектов удовлетворить всем предъявляемым требованиям в одной модели обычно невозможно. Приходится создавать целый спектр моделей одного и того же объекта (в некоторых случаях — иерархическую совокупность «вложенных» одна в другую моделей), каждая из которых наиболее эффективно решает возложенные на нее задачи.

Необходимость массового построения моделей требует разработки некоторой совокупности правил и подходов, которые позволили бы снизить затраты на разработку моделей и уменьшить вероятность появления трудно устранимых впоследствии ошибок. Подобную совокупность правил можно было бы назвать технологией создания математических моделей.

Процесс построения любой математической модели можно представить последовательностью этапов:

Обследование объекта моделирования и формулировка технического задания на разработку модели (содержательная постановка задачи);
Концептуальная и математическая постановка задачи;
Качественный анализ и проверка корректности модели;
Выбор и обоснование выбора методов решения задачи;
Поиск решения;
Разработка алгоритма решения и исследование его свойств, реализация алгоритма в виде программ;
Проверка адекватности модели;
Практическое использование построенной модели.

Обследование объекта моделирования

Математические модели, особенно использующие численные методы и вычислительную технику, требуют для своего построения значительных интеллектуальных, финансовых и временных затрат. Поэтому решение о разработке новой модели принимается лишь в случае отсутствия иных, более простых путей решения возникших проблем (например, модификации одной из существующих моделей).

Необходимость в новой модели может появиться в связи с проведением научных исследований, особенно — на стыке различных областей знания. После принятия решения о необходимости построения новой математической модели заказчик ищет исполнителя своего заказа. В качестве исполнителя, как правило, может выступать рабочая группа, включающая специалистов разного профиля: прикладных математиков, специалистов, хорошо знающих особенности объекта моделирования, программистов. Если решение о создании модели принято и рабочая группа сформирована, то приступают к этапу обследования объекта моделирования. Основной целью данного этапа является подготовка содержательной постановки задачи моделирования. Перечень сформулированных в содержательной (словесной) форме основных вопросов об объекте моделирования, интересующих заказчика, составляет содержательную постановку задачи моделирования.

Подготовка списка вопросов, на которые должна ответить новая модель, зачастую является самостоятельной проблемой, требующей для своего решения специалистов со специфическими знаниями и способностями. Они должны не только хорошо разбираться в предметной области моделирования, знать возможности современной вычислительной математики и техники, но и уметь общаться с людьми, «разговорить» практиков, хорошо «чувствующих» объект моделирования, нюансы его поведения. К таким специалистам например относят системных аналитиков, системных инженеров, специалистов по исследованию операций.

На основании анализа всей собранной информации постановщик задачи должен сформулировать такие требования к будущей модели, которые, с одной стороны, удовлетворяли бы заказчика, а с другой — позволяли бы реализовать модель в заданные сроки и в рамках выделенных материальных средств. Системные аналитики (или операционисты) должны обладать способностью из большого объема слабо формализованной разнообразной информации об объекте моделирования, из различных нечетко высказанных и сформулированных пожеланий и требований заказчика к будущей модели выделить то главное, что может быть действительно реализовано.

На основе собранной информации об объекте моделирования системный аналитик (инженер, операционист) совместно с заказчиком формулируют содержательную постановку задачи моделирования, которая, как правило, не бывает окончательной и может уточняться и конкретизироваться в процессе разработки модели. Однако, все последующие уточнения и изменения содержательной постановки должны носить частный, не принципиальный характер.

Весь собранный в результате обследования материал о накопленных к данному моменту знаниях об объекте, содержательная постановка задачи моделирования, дополнительные требования к реализации модели и представлению результатов оформляются в виде технического задания на проектирование и разработку модели. Техническое задание является итоговым документом, заканчивающим этап обследования. Чем более полную информацию удастся собрать об объекте на этапе обследования, тем более четко можно выполнить содержательную постановку задачи, более полно учесть накопленный опыт и знания, избежать многих сложностей на последующих этапах разработки модели.

Концептуальная постановка задачи моделирования

В отличие от содержательной концептуальная постановка задачи моделирования, как правило, формулируется членами рабочей группы без привлечения представителей заказчика, на основании разработанного на предыдущем этапе технического задания, с использованием имеющихся знаний об объекте моделирования и требований к будущей модели. Анализ и совместное обсуждение членами рабочей группы всей имеющейся информации об объекте моделирования позволяет сформировать содержательную модель объекта, являющуюся синтезом когнитивных моделей, сложившихся у каждого из членов рабочей группы.

Концептуальная постановка задачи моделирования — это сформулированный в терминах конкретных дисциплин перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.

Наибольшие трудности при формулировке концептуальной постановки приходится преодолевать в моделях, находящихся на «стыке» различных дисциплин. Различия традиций, понятий и языков, используемых для описания одних и тех же объектов, являются очень серьезными препятствиями, возникающими при создании «междисциплинарных» моделей.

Математическая постановка задачи

Законченная концептуальная постановка позволяет сформулировать математическую постановку задачи моделирования, включающую совокупность различных математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

Математическая постановка задачи моделирования — это совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

Математическая модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, предметного смысла и математической замкнутости. Математическая постановка задачи еще более абстрактна, чем концептуальная, так как сводит исходную задачу к чисто математической, методы решения которой достаточно хорошо разработаны.

Выбор и обоснование выбора решения задачи

Все методы решения задач, составляющих «ядро» математических моделей, можно подразделить на аналитические и алгоритмические.

Следует отметить, что при использовании аналитических решений для получения результатов «в числах» также часто требуется разработка соответствующих алгоритмов, реализуемых на вычислительной технике.

Однако исходное решение при этом представляет собой аналитическое выражение (или их совокупность). Решения же, основанные на алгоритмических методах, принципиально не сводимы к точным аналитическим решениям рассматриваемой задачи.

Выбор того или иного метода исследования в значительной степени зависит от квалификации и опыта членов рабочей группы. Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей. В случае, если математическая задача (хотя бы и в упрощенной постановке) допускает аналитическое решение, последнее, без сомнения, предпочтительнее численного.

Алгоритмические методы сводятся к некоторому алгоритму, реализующему вычислительный эксперимент с использованием вычислительной техники. Точность моделирования в подобном эксперименте существенно зависит от выбранного метода и его параметров. Алгоритмические методы, как правило, более трудоемки в реализации, требуют от членов рабочей группы хорошего знания методов вычислительной математики, обширной библиотеки специального программного обеспечения и мощной вычислительной техники.

Численные методы применимы лишь для корректных математических задач, что существенно ограничивает использование их в математическом моделировании. Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, то есть переходом от функции непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. Применение любого численного метода неминуемо приводит к погрешности результатов решения задачи. Выделяют три основных составляющих возникающей погрешности при численном решении исходной задачи: неустранимая погрешность, связанная с неточным заданием исходных данных (начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений); погрешность метода, связанная с переходом к дискретному аналогу исходной задачи; ошибка округления, связанная с конечной разрядностью чисел, представляемых в вычислительной машине.

Естественным требованием для конкретного вычислительного алгоритма является согласованность в порядках величин перечисленных трех видов погрешностей.

Численный, или приближенный, метод реализуется всегда в виде вычислительного алгоритма. Поэтому все требования, предъявляемые к алгоритму, применимы и к вычислительному алгоритму. Прежде всего, алгоритм должен быть реализуем — обеспечивать решение задачи за допустимое машинное время. Важной характеристикой алгоритма является его точность, то есть возможность получения решения исходной задачи с заданной точностью за конечное число действий.

Время работы алгоритма зависит от числа действий, необходимых для достижения заданной точности. Для любой математической задачи, как правило, можно предложить несколько алгоритмов, позволяющих получить решение с заданной точностью, но за разное число действий. Алгоритмы, включающие меньшее число действий для достижения одинаковой точности, называют более экономичными, или более эффективными.

В процессе работы вычислительного алгоритма на каждом акте вычислений возникает некоторая погрешность. При этом от действия к действию она может возрастать или не возрастать (а в некоторых случаях даже уменьшаться). Если погрешность в процессе вычислений неограниченно возрастает, то такой алгоритм называется неустойчивым, или расходящимся. В противном случае алгоритм называется устойчивым, или сходящимся.

Огромное разнообразие численных методов в значительной степени затрудняет выбор того или иного метода в каждом конкретном случае. Поскольку для реализации одной и той же модели можно использовать несколько альтернативных алгоритмических методов, то выбор конкретного метода производится с учетом того, какой из них больше подходит для данной модели с точки зрения обеспечения эффективности, устойчивости и точности результатов, а также более освоен и знаком членам рабочей группы.

Реализация математической модели в виде компьютерной программы

При создании различных программных комплексов, используемых для решения разнообразных исследовательских, проектно-конструкторских и управленческих задач, в настоящее время, основой, как правило, служат математические модели. В связи с этим возникает необходимость реализации модели в виде компьютерной программы. Процесс разработки надежного и эффективного программного обеспечения является не менее сложным, чем все предыдущие этапы создания математической модели. Успешное решение данной задачи возможно лишь при уверенном владении современными алгоритмическими языками и технологиями программирования, знаний возможностей вычислительной техники, имеющегося программного обеспечения, особенностей реализации методов вычислительной математики.

Процесс создания программного обеспечения можно разбить на несколько этапов:

составление технического задания на разработку программного обеспечения;
проектирование структуры программного комплекса;
кодирование алгоритма;
тестирование и отладка;
сопровождение и эксплуатация.

Техническое задание на разработку программного обеспечения оформляют в виде спецификации. На этапе проектирования формируется общая структура программного комплекса. Вся программа разбивается на программные модули. Для каждого программного модуля формулируются требования по реализуемым функциям и разрабатывается алгоритм, выполняющий эти функции. Определяется схема взаимодействия программных модулей, называемая схемой потоков данных программного комплекса. Разрабатывается план и задаются исходные данные для тестирования отдельных модулей и программного комплекса в целом.

Большинство программ, реализующих математические модели, состоят из трех основных частей:

препроцессора (подготовка и проверка исходных данных модели);
процессора (решение задачи, реализация вычислительного эксперимента);
постпроцессора (отображение полученных результатов).

Большое значение следует придавать освоению современных технологий программирования. Назначение любой технологии — это в первую очередь повышение надежности программного обеспечения и увеличение производительности труда программиста. Причем чем серьезней и объемней программный проект, тем большее значение приобретают вопросы использования современных технологий программирования. Пренебрежение данными вопросами может привести к значительным временным издержкам и снижению надежности программного комплекса.

Важнейшим фактором, определяющим надежность и малые сроки создания программного комплекса для решения конкретного класса задач, является наличие развитой библиотеки совместимых между собой программных модулей. Программа получается более надежной и создается за меньшие сроки при максимальном использовании стандартных программных элементов.

Проверка адекватности модели

Адекватность математической модели - степень соответствия результатов, полученных по разработанной модели, данным эксперимента или тестовой задачи.

Проверка адекватности модели преследует две цели:

убедиться в справедливости совокупности гипотез, сформулированных на этапах концептуальной и математической постановок. Переходить к проверке гипотез следует лишь после проверки использованных методов решения, комплексной отладки и устранения всех ошибок и конфликтов, связанных с программным обеспечением;
установить, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.

Проверка разработанной математической модели выполняется путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными о реальном объекте или с результатами других, созданных ранее и хорошо себя зарекомендовавших моделей. В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом, во втором — о сравнении с результатами решения тестовой задачи.

Решение вопроса о точности моделирования зависит от требований, предъявляемых к модели, и ее назначения. При этом должна учитываться точность получения экспериментальных результатов или особенности постановок тестовых задач. В моделях, предназначенных для выполнения оценочных и прикидочных расчетов, удовлетворительной считается точность 10-15%. В моделях, используемых в управляющих и контролирующих системах, требуемая точность может быть 1-2% и даже более.

При возникновении проблем, связанных с адекватностью модели, ее корректировку требуется начинать с последовательного анализа всех возможных причин, приведших к расхождению результатов моделирования и результатов эксперимента. В первую очередь требуется исследовать модель и оценить степень ее адекватности при различных значениях варьируемых параметров (начальных и граничных условиях, параметров, характеризующих свойства объектов моделирования). Если модель неадекватна в интересующей исследователя области параметров, то можно попытаться уточнить значения констант и исходных параметров модели. Если же и в этом случае нет положительных результатов, то единственной возможностью улучшения модели остается изменение принятой системы гипотез. Данное решение фактически означает возвращение ко второму этапу процесса разработки модели и может повлечь не только серьезное изменение математической постановки задачи, но и методов ее решения (например, переход от аналитических к численным), полной переработки программного обеспечения и нового цикла проверки модели на адекватность. Поэтому решение об изменении принятой системы гипотез должно быть всесторонне взвешено и приниматься только в том случае, если исчерпаны все прочие возможности по улучшению адекватности модели.

Практическое использование модели и анализ результатов моделирования

Дескриптивные модели, предназначены для описания исследуемых параметров некоторого явления или процесса, а также для изучения закономерностей изменения этих параметров. Эти модели могут использоваться для изучения свойств и особенностей поведения исследуемого объекта при различных сочетаниях исходных данных и разных режимах; при построении оптимизационных моделей и моделей-имитаторов сложных систем.

Модели, разрабатываемые для исследовательских целей, как правило, не доводятся до уровня программных комплексов, предназначенных для передачи сторонним пользователям. Время их существования чаще всего ограничено временем выполнения исследовательских работ по соответствующему направлению. Эти модели отличает поисковый характер, применение новых вычислительных процедур и алгоритмов, неразвитый программный интерфейс.

Модели и построенные на их основе программные комплексы, предназначенные для последующей передачи сторонним пользователям или коммерческого распространения, имеют развитый дружественный интерфейс, мощные пре- и постпроцессоры. Данные модели обычно строятся на апробированных и хорошо себя зарекомендовавших постановках и вычислительных процедурах. Однако следует помнить, что такие модели предназначены только для решения четко оговоренного класса задач.

Независимо от области применения созданной модели группа разработчиков обязана провести качественный и количественный анализ результатов моделирования.

Работая с моделью, разработчики становятся специалистами в области, связанной с объектом моделирования. Они достаточно хорошо представляют свойства объекта, могут предсказать и объяснить его поведение.

Читайте также: