Как изменяется по фазе ток и напряжение в цепи с емкостью

Обновлено: 05.05.2024

Слободянюк А.И. Физика 10/18.4

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую резистор с активным сопротивлением R и конденсатор емкости C, подключенную к источнику переменной ЭДС (Рис. 248).

Конденсатор, подключенный к источнику постоянной ЭДС полностью препятствует прохождения тока – за некоторый промежуток времени конденсатор заряжается, напряжение между его обкладками становится равным ЭДС источника, после чего ток в цепи прекращается. Если же конденсатор включен в цепь переменного тока, то ток в цепи не прекращается – фактически конденсатор периодически перезаряжается, заряды на его обкладках периодически изменяются как по величине, так и по знаку. Конечно, никакие заряды не протекают между обкладками, электрического тока в строгом определении между ними нет. Но, часто не вдаваясь в детали и не слишком корректно, говорят о токе через конденсатор, подразумевая под этим ток в цепи, к которой подключен конденсатор. Такой же терминологией будем пользоваться и мы.

По-прежнему, для мгновенных значений справедлив закон Ома для полной цепи: ЭДС источника равна сумме напряжений на всех участках цепи. Применение этого закона к рассматриваемой цепи приводит к уравнению

\varepsilon = U_R + U_C = IR + \frac\) , (1)

здесь \(U_R = IR\) - напряжение на резисторе, \(U_C = \frac\) - напряжение на конденсаторе, q - электрический заряд на его обкладках. Уравнение (1) содержит три изменяющихся во времени величины (известную ЭДС, и пока неизвестные силу тока и заряд конденсатора), учитывая, что сила тока равна производной по времени от заряда конденсатора \(I = q′\), это уравнение может быть точно решено. Так как ЭДС источника изменяется по гармоническому закону, то и напряжение на конденсаторе и сила тока в цепи также будут изменяться по гармоническим законам с той же частотой – это утверждение непосредственно следует и уравнения (1).

Сначала установим связь между силой тока в цепи напряжением на конденсаторе. Зависимость напряжения от времени представим в виде

U_C(t) = U_0 \cos \omega t\) . (2)

Подчеркнем, что в данном случае напряжение на конденсаторе отличается от ЭДС источника, как будет видно из дальнейшего изложения, между этими функциями существует также и разность фаз. Поэтому при записи выражения (2), мы выбираем произвольную начальную фазу нулевой, при таком определении фазы ЭДС, напряжения на резисторе и силы тока отсчитываются относительно фазы колебаний напряжения на резисторе.

Используя связь между напряжением и зарядом конденсатора, запишем выражение для зависимости последнего от времени

q = U_0 C \cos \omega t\) , (3)

которое позволяет найти временную зависимость силы тока

I_C = q' = -U_0 C \omega \sin \omega t = U_0 C \omega \cos \left( \omega t + \frac<\pi> \right)\) , (4)

на последнем шаге использована тригонометрическая формула приведения, для того, чтобы в явном виде выделить сдвиг фаз между током и напряжением.

Итак, мы получили, что амплитудное значение силы тока через конденсатор связано с напряжением на нем соотношением

I_ = U_ C \omega\) , (5)

а также между колебаниями силы тока и напряжения существует разность фаз, равна \(

\Delta \varphi = \frac<\pi>\). Эти результаты суммированы на рис. 249, где также представлена векторная диаграмма колебаний силы тока и напряжения.

Для того, чтобы сохранить форму закона Ома для участка цепи, вводят понятие емкостного сопротивления, которое определяется по формуле

В этом случае соотношение (5) становится традиционным для закона Ома

При изучении закона Ома для цепей постоянного тока, мы указывали, что электрическое поле заставляет упорядоченно двигаться заряженные частицы внутри проводника, то есть создает электрический ток. Иными словами, «напряжение является причиной возникновения тока». В данном случае ситуация обратная – благодаря электрическому току на обкладках возникают электрические заряды, создающие электрическое поле, поэтому можно сказать, что в данном случае «сила тока является причиной возникновения напряжения». Хотя, к данным рассуждениям следует относиться несколько скептически, так движение зарядов (электрический ток) и электрическое поле «подстраиваются» друг к другу, пока между ними не устанавливается определенное соотношение, соответствующее установившемуся режиму. Так при постоянном токе условием стационарности является условие постоянства тока. В цепи переменного тока в установившемся режиме согласуются не только амплитудные значения токов и напряжений, но разность фаз между ними. Иными словами, обсуждаемый здесь причинно-следственный вопрос подобен вопросу о том, «что появилось раньше, курица или яйцо?»

Так как между током и напряжением существует сдвиг фаз равный \(

\Delta \varphi = \frac<\pi>\), то средняя мощность тока через конденсатор равна нулю. Действительно,

= <U_C(t) \cdot I_C(t)> = U_ \cdot I_ <\cos \omega t \cdot \cos \left( \omega t + \frac<\pi> \right)> = 0\) .</center>

Иными словами, потерь энергии при протекании тока через конденсатор в среднем не происходит. Конечно, конденсатор влияет на протекание тока в цепи. В ходе зарядки конденсатора энергия электрического тока превращается в энергию электростатического поля между обкладками конденсатора, а при разрядке конденсатор отдает в цепь накопленную энергию, при этом, средняя энергия, потребляемая конденсатором, остается равной нулю. Поэтому емкостное сопротивление называют реактивным.

Графики зависимости силы тока, напряжения и мгновенной мощности тока в рассматриваемой цепи показаны на рис. 250.

Заливкой выделены промежутки времени, в течении которых конденсатор накапливает энергия – в этих промежутках сила тока и напряжение имеют один знак.

Уменьшение емкостного сопротивления при возрастании частоты очевидна – чем выше частота тока, тем меньший заряд на конденсаторе успевает накопиться на обкладках конденсатора за половину периода (пока ток идет в одном направлении), тем меньше напряжение на нем, тем меньше он препятствует прохождению тока в цепи. Аналогичные рассуждения справедливы и для объяснения зависимости этого сопротивления от емкости конденсатора.

Вернемся к рассмотрению цепи, показанной на рис. 248, которая описывается уравнением (1). Пренебрегая внутренним сопротивлением источника, запишем явное выражение для напряжения, создаваемого источником

U_0 \cos \omega t = IR + \frac\) . (8)</center>

Здесь U₀ - амплитудное значение напряжения, равное амплитудному значению ЭДС источника. Кроме того, теперь мы считаем начальную фазу ЭДС источника равной нулю (ранее за нуль мы принимали фазу колебаний напряжения на резисторе).

Используя это уравнение и связь между силой тока и зарядом конденсатора, найдем явное выражение для зависимости силы тока в цепи от времени. Представим эту зависимость в виде

I = I_0 \cos (\omega t + \varphi)\) , (9)</center>

где I₀ и φ - подлежащие определению амплитудное значение силы тока и разности фаз между колебаниями тока и напряжения источника. Легко заметить, что в этом случае заряд конденсатора изменяется по закону

q(t) = q_0 \sin (\omega t + \varphi) = \frac <\omega>\sin (\omega t + \varphi)\) . (10)</center>

Для проверки этого соотношения достаточно вычислить производную от приведенной функции и убедится, что она совпадает с функцией (9).

Подставим эти выражения в уравнение (8)

U_0 \cos \omega t = I_0 R \cos (\omega t + \varphi) + \frac \sin (\omega t + \varphi)\)</center>

и преобразуем тригонометрическую сумму

где через φ₁ обозначена величина, удовлетворяющая условию

Теперь видно, что для того, чтобы функция (9) являлась решение уравнения (8), необходимо, чтобы ее параметры принимали значения:

Таким образом, найдена явная зависимость силы тока от времени.

В принципе таким методом, можно рассчитать любую цепь переменного тока. Но такой подход требует громоздких тригонометрических и алгебраических преобразований. К тем же результатам можно прийти гораздо проще, используя формализм векторных диаграмм. Покажем, как метод векторных диаграмм применяется к рассматриваемой цепи. Самое важное при использовании этого метода – построение векторной диаграммы, изображающей колебания токов и напряжений на различных участках цепи.

Так как конденсатор и резистор соединены последовательно, то силы токов через них одинаковы в любой момент времени. Изобразим силу тока в идее произвольно направленного вектора (например, горизонтально [1] , как на рис. 251). Далее изобразим векторы колебаний напряжения на резисторе U_R, который параллелен вектору колебаний тока (так как сдвиг фаз между этими колебаниями равен нулю) и напряжения на конденсаторе U_C, который перпендикулярен вектору колебаний тока (так как сдвиг фаз меду ними равен \(

\frac<\pi>\) - см. Рис. 249). Сумма этих напряжений равна напряжению источника, поэтому вектор суммы векторов, изображающих колебания U_R и U_C, изображает колебания напряжения источника U(t). Из построенной диаграммы следует, что амплитудные значения рассматриваемых напряжений связаны соотношением (следующим из теоремы Пифагора)

Выражая амплитуды напряжений через амплитуду силы тока с помощью известных соотношений \(

U_ = \frac\), получаем элементарное уравнение для определения амплитуды силы тока

U^2_0 = (I_0 R)^2 + \left( \frac \right)^2\) , (13)</center>

из которого находим амплитуду силы тока в цепи

что, естественно, совпадает с выражением (11), полученным ранее громоздким алгебраическим методом. Векторная диаграмма также позволяет легко определить сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения источника

что также совпадает с полученным ранее.

Как видно, метод векторных диаграмм позволяет полностью рассчитать характеристики цепей переменного тока, гораздо проще, чем рассмотренным выше методом аналитического решения соответствующего уравнения.

Следует подчеркнуть, что физическая сущность обоих методов одна и та же, она выражается уравнением (10), различие только в математическом языке, на котором решается это уравнение.

Рассчитаем, среднюю мощность, развиваемую источником. Мгновенное значение этой мощности равно произведению ЭДС на силу тока \(P = \varepsilon I\). Подставляя явные значения для этих величин и проводя усреднение, получим

<P> = <\varepsilon I> = <U_0 \cos \omega t \cdot I_0 \cos (\omega t + \varphi)> = U_0 I_0 <\cos \omega t \cdot \cos (\omega t + \varphi)> = \frac \cos \varphi\) . (16)</center>

Обратите внимание, что полученное выражение для средней мощности является общим для переменного тока: средняя мощность переменного тока равна половине произведения амплитуд силы тока, напряжения и косинуса разности фаз между ними. Если использовать не амплитудные, а действующие значения силы тока и напряжения, то формула (16) приобретает вид

<P> = U_D I_D \cos \varphi\) , (17)</center>

средняя мощность переменного электрического тока равна произведению действующих значений силы тока, напряжения и косинуса разности фаз между ними. Часто косинус сдвига фаз между силой тока и напряжением называют коэффициентом мощности.

В тех случаях, когда по электрической линии требуется передать максимальную мощность, необходимо стремиться, чтобы сдвиг фаз между током и напряжением был минимальным (оптимально – нулевым), так как в этом случае передаваемая мощность будет максимальна.

Применим полученную формулу для расчета мощности тока в рассматриваемой цепи, для чего выразим косинус сдвига фаз из выражения (12) и подставим в формулу (17), в результате чего получим

При выводе этого соотношения использована формула (14) для амплитуды силы тока в цепи. Полученный результат очевиден – средняя мощность, развиваемая источником, равна средней мощности теплоты, выделяющейся на резисторе. Этот вывод еще раз подтверждает, что на конденсаторе не происходит потерь энергии электрического тока. Расчет мощности тока также можно проводить с помощью построенной векторной диаграммы, из которой следует, что произведение амплитуды напряжения источника на косинус сдвига фаз равно амплитуде напряжения на резисторе \(U_0 \cos \varphi = U_\), откуда сразу следует формула (18).

Так как амплитудные и действующие значения сил токов и напряжений пропорциональны друг другу, то длины векторов векторных диаграмм можно считать пропорциональными действующим (а не амплитудным) значениям. При таком определении среднее произведение двух гармонических функций равно скалярному произведению векторов, изображающих эти функции.

ЦЕПЬ С ЕМКОСТЬЮ

пропорционален скорости изменения заряда конденсатора или скорости изменения напряжения на его зажимах.

Рис 5-27. Цепь с емкостью.

Синусоидальное напряжение в моменты прохождения через нулевые значения (рис. 5-28) имеет наибольшую скорость изменения следовательно, в эти моменты времени сила тока в цепи конденсатора будет иметь наибольшее значение. В моменты прохождения напряжения через амплитудные значения скорость изменения его, а следовательно, и сила тока в цепи будут равны нулю.

Рис, 5-28. Графики тока, напряжения и мощности цепи с емкостью.

Рис. 5-29. Векторная диаграм ма цепи с ем костью

Таким образом, ток в цепи конденсатора

i = C (du/dt) = CU_м(d sin ωt/dt) = CωU_мcosωt = I _м sin (ωt + π /2) .

изменяется синусоидально, опережая по фазе напряжение

Векторная диаграмма цепи с емкостью дана на рис. 5-29.

Емкостное сопротивление

Из выражения следует, что амплитуда тока

Разделив написанное выражение на √2, получим:

I = CωU = U/(1/ωC) = U/x_C

x_C = 1/ωC = 1/2 πf C

называется реактивным соп р отивлением емкости или емкостным сопротивлением.

Емкостное сопротивление обратно пропорционально емкости и частоте переменного тока. При изменении частоты от f = 0 (постоянный ток) до f = ∞ оно изменяется от

в) Мощность Мгновенное значение мощности

р = u i = U_м sin ωt • I _м cos ωt = U I sin 2ωt. На рис. 5-28, б показан график мгновенной мощности.

Мгновенная мощность в цепи с емкостью изменяется с двойной частотой, достигая то положительного максимума U I = I 2 (1/ ωC) то такого же по величине отрицательного максимума. При нарастании напряжения (первая и третья четверти периода, рис. 5-28) происходит накопление энергии электрического поля от нуля до максимального значения

W_м = CU 2 _м/2 = CU 2

которая получается от генератора, таким образом, цепь работает в режиме потребителя, что соответствует положительному значению мощности.

При уменьшении напряжения (вторая и четвертая четверти периода, рис. 5-28) происходит уменьшение энергии электрического поля от максимального значения до нуля, которая возвращается цепью генератору. Таким образом, в эти части периода цепь работает в режиме генератора, что соответствует отрицательному значению мощности цепи с емкостью. Энергия, получаемая цепью за полупериод, равна нулю, следовательно, равна нулю и средняя мощность цепи.

Максимальное значение мощности в цепи с емкостью называется реактивной мощностью

Q = U I = U 2 ωC = W_мω.

Она характеризует скорость обмена энергией между генератором и цепью с емкостью.

Пример 5-8. Конденсатор емкостью 80 мкф включен в сеть с напряжением 380 в и частотой 50 гц. Определить: х_с, I и W_M;

x_C = 1/2 πf C = 1/2π • 50 • 80 • 10 -6 = 10 6 /25000 = 40 ом

I = U /x_C = 380/40 = 9,5 a

W_м = CU₂ = 80 • 10 -6 • 380 2 = 11,5 ДЖ.

Переменный ток (расчеты формула)

Переменный ток это ток, периодически изменяющийся по величине и по направлению. Наиболее распространенным в технике является синусоидальный переменный ток (слово синусоидальный при этом часто опускается). Это ток, мгновенные значения которого изменяются во времени по закону синуса, т. е. по закону простого или гармонического колебания.

Переменный ток — это направленное колебательное движение зарядов. Это вносит ряд отличий в явления, происходящие в цепях переменного тока. Например, в растворе электролита на электродах происходят только первичные реакции.

Что такое переменный ток

Применяемый в технике переменный ток низкой частоты (50 гц), как известно, получается с помощью генераторов, основанных на явлении электромагнитной индукции. Переменная электродвижущая сила возбуждается при вращении витков обмотки ротора в постоянном магнитном поле магнитов статора. Концы обмотки присоединяются к контактным кольцам с неподвижными угольными щетками, к которым присоединена внешняя цепь .

При равномерном вращении витка магнитный поток, связанный с ним, периодически изменяется по величине вследствие изменения угла между направлением силовых линий поля и нормалью к плоскости витка. При этом в витке индуктируется э. д. с, мгновенные значения которой прямо пропорциональны скорости изменения магнитного потока.

В соответствии с формулой изменение магнитного потока происходит по закону косинуса. Можно показать математически, что пр этом скорость изменения магнитного потока и, следовательно, э. д. с. индукции изменяется по закону синуса.

При этом в момент, когда магнитный поток через контур максимален, э. д. с. индукции изменяет знак, проходя через нулевое значение. Наоборот, э. д. с. индукции максимальна в момент, когда магнитный поток через контур уменьшился до нуля, и изменяет свое направление (см. график на рис. , б). На графике по горизонтальной оси отложены углы поворота витка сравнительно с исходным положением.

Колебания э. д. с. индукции запаздывают относительно колебаний маг нитного потока по фазе на угол π/2 (90°). Это имеет место в любых случаях индукции, включая и самоиндукцию. Колебания э. д. с. самоиндукции так же запаздывают на 90° относительно колебаний тока в цепи. Это обстоятельство весьма существенно для понимания явлений, связанных с индукцией или самоиндукцией в цепях переменного тока.

Величина мгновенных значений э. д. с. или напряжения U_i на щетках может быть выражена как:

U=U_m sin ω t,

Ток во внешней цепи между щетками будет изменяться по аналогичному закону:

Переменный ток колебательного характера

Переменный ток также представляет направленное движение носителей зарядов, однако в отличие от постоянного тока это движение имеет колебательный характер. Электрическое поле, вызывающее движение зарядов, изменяет направление через каждую половину периода. Соответственно изменяется и направление перемещения зарядов в проводниках.

Если частота изменения знака напряжения низкая, то заряды, особенно наиболее подвижные из них (электроны), могут переместиться на некоторое расстояние в одну и другую сторону. При высокой частоте они будут только совершать колебания около среднего положения. От теплового движения эти колебания отличаются тем, что они происходят направленно — вдоль линий напряженности электрического поля.

Раздражающее действие электрического тока на ткани организма связано не только с длительным перемещением ионов в определенном направлении, но и с кратковременным их смещением, которое также может вызвать изменение концентрации тканевых ионов у клеточных мембран. Однако раздражающее действие переменного тока в значительной мере зависит от его частоты.

С повышением частоты уменьшается величина смещения ионов, соответственно ослабляется и действие тока. При достаточно высоких частотах, когда смещение ионов в направленном движении делается соизмеримым со смещением их в тепловом движении, ток уже не оказывает на ткань раздражающего действия. При этом сохраняется только тепловое действие тока.

Характер снижения раздражающего действия переменного тока и соответствующее повышение его пороговой величины в зависимости от частоты был установлен Нернстом.

В пределах от 100 до 3000 г ц пороговая величина i_п раздражающего тока увеличивается прямо пропорционально корню квадратному из частоты:

i_п = k₁√v

Переменный ток частотой порядка 500 кгц и выше раздражающего действия не оказывает и потому может применяться для получения в тканях организма теплового эффекта.

Раздражающее действие на ткани организма переменного тока характеризуется максимальным или амплитудным значением тока, обусловливающим максимальное мгновенное смещение ионов.

В технике для удобства измерений пользуются так называемыми эффективными (среднеквадратичными) величинами тока и напряжения:

В этом случае сохраняют силу формулы для мощности и теплового эф фекта тока, применяемые в цепях постоянного тока:

N = U_эффI_эфф; Q = U_эффI_эффt = I 2 _эффRt

Эффективные величины напряжения и тока указываются в номинальных данных приборов и аппаратов переменного тока, в них же градуируются и шкалы измерительных приборов. Значок «эфф» при этом, как правило, опускается.

Измерение переменного тока

Для измерения в цепях переменного тока применяются тепловые, электромагнитные и термоэлектрические приборы. Магнитоэлектрические при боры для измерения в цепях переменного тока снабжаются купроксными или селеновыми выпрямителями.

Для измерения и регистрации мгновенных значений переменного тока применяется шлейфовый осциллограф, а в цепях переменного тока высокой частоты — электроннолучевой осциллограф.

Закон Ома сохраняет значение и при переменном токе. Формула закона Ома может быть применена как к амплитудным, так и к эффективным значениям тока и напряжения:

I_эфф = U_эфф/R.

Сопротивление R в этой формуле подобно тому, как и при постоянном токе, обусловлено столкновениями между носителями зарядов, которые находятся в колебательном движении, и относительно неподвижными частицами вещества проводника. Величина его при переменном токе, особенно при низкой и средней частоте, рассчитывается так же. как и при постоянном токе (при высокой частоте учитываются соответствующие поправки).

В цепи переменного тока это сопротивление называется активным (или «омическим»), так как оно обусловливает необратимую потерю энергии.

Закон Ома выполняется также и для любых мгновенных значений тока и напряжения. Поэтому колебания тока I _i и напряжения U_i происходят в фазе.

Цепь переменного тока с индуктивностью

Подключим цепь из катушки индуктивности с железным сердечником и лампочки накаливания к источнику постоянного напряжения. Лампочка горит полным накалом (рис. 2, а). Переключим эту цепь к источнику переменного напряжения такой же величины. Лампочка горит с меньшим накалом (рис. 2. б), особенно при наличии сердечника (рис. 2, в). Причина этого в том, что при перемен ном токе в катушке действует электродвижущая сила самоиндукции, которая противодействует приложенному напряжению и значительно снижает силу тока, особенно при наличии в катушке железного сердечника.

Опыт показывает, что в цепи переменного тока, содержащей катушку индуктивности L, активным сопротивлением которой можно пренебречь, сила тока подчиняется закону Ома при условии, что в формулу подставляется некоторая величина x_L , называемая индуктивным сопротивлением катушки:

I = U/x_L,

где U и I —эффективные величины напряжения и тока

С помощью индуктивного сопротивления учитывается действие в цепи электродвижущей силы самоиндукции. Поэтому величина индуктивного сопротивления прямо пропорциональна тем же величинам, от которых зависит и э. д. с. самоиндукции: индуктивности L катушки и круговой частоте ω = 2 πv, обусловливающей скорость изменения тока. Индуктивное сопротивление катушки вычисляется по формуле

x_L = ωL = 2πvL

где x_l измеряется в омах, L — в генри и v — в герцах. Как видно из формулы, индуктивное сопротивление проводника или катушки зависит от частоты переменного тока, протекающего по цепи. Поэтому соразмерную величину индуктивного сопротивления может иметь при низкой частоте катушка с большим числом витков и железным сердечником (рис. 2, в), а при высокой — спираль из нескольких витков и без сердечника.

Наличие индуктивного сопротивления в цепи переменного тока вызывает сдвиг фазы колебаний тока по отношению к напряжению. Электродви жущая сила самоиндукции направлена против изменения тока в цепи, поэтому она задерживает эти изменения и колебания тока запаздывают по отношению к колебаниям напряжения. Между колебаниями напряжения U_i и тока I_i образуется сдвиг фаз. Запаздывание изменений тока по сравнению с напряжением в цепи с индуктивностью было показано, например, в опыте.

Сдвиг фаз между током и напряжением в цепи и с чисто индуктивным сопротивлением составляет 90°. В цепи, содержащей и активное и индуктивное сопротивление, сдвиг фазы в зависимости от соотношения этих сопротивлений может быть в пределах от 0 (чисто активное) до 90° (чисто индуктивное).

Индуктивное сопротивление называется реактивным, так как в нем не происходит потери энергии.

Цепь переменного тока с емкостью

Составим цепь из нескольких конденсаторов значительной емкости и лампочки накаливания и под ключим к источнику переменного тока — лампочка будет гореть полным накалом. Если уменьшить емкость конденсаторов, уменьшится и накал лампочки. Опыт показывает, что в цепи, содержащей конденсатор, переменный ток образуется (или, как говорят, «проходит»), причем сила тока зависит от емкости конденсатора. При заряде и разряде конденсатора в цепи проходит кратковременный ток в прямом и обратном направлениях.

В данном случае в цепи с переменным напряжением, мгновенные значения которого периодически изменяются от нуля до максимума, будут происходить повторяющиеся процессы заряда и разряда конденсатора. Соответственно чему в цепи образуется ток, также периодически изменяющийся по направлению, т. е. переменный ток. При этом сила тока будет пропорциональна, во-первых, величине заряда и, во-вторых, частоте, с которой происходят зарядка и разрядка конденсатора. Рассмотрим процессы, происходящие в цепи с конденсатором в течение одного периода изменения, приложенного напряжения U_c (рис. 3).

Пусть в начальный момент времени мгновенное значение напряжения U_c максимально и отрицательно, конденсатор заряжен и тока I_с в цепи нет (поз. /). При уменьшении мгновенных значений напряжений U_c конденсатор начинает разряжаться и в цепи появляется ток положительного направления (поз. 2). Через четверть периода (T/4) U_c снижается до нуля (конденсатор разряжен), сила тока I_с достигает максимума. Приложенное напряжение меняет знак и постепенно нарастает по величине.

Конденсатор заряжается, сила тока I_с в цепи сохраняет прежнее направление, но постепенно убывает по величине (поз. 3). Через половину периода конденсатор вновь заряжен (с обратной полярностью пластин), U_c — максимально, I_с=0 (поз. 4). Дальше процесс повторяется (поз. 5, 6, 7), но ток I_с имеет направление, обратное тому, которое имел он в первой половине периода.

Таким образом, одному периоду изменения приложенного напряжения соответствует один период изменения тока в цепи, однако колебания тока происходят не одновременно с колебаниями напряжения, они их опережают по фазе.

Для цепи, содержащей Только емкость, ток опережает напряжение на угол 90° (см. рис. 271, б). Для цепи, содержащей емкость и активное сопротивление, сдвиг фазы (в зависимости от соотношения их величин) может быть в пределах от 0 до 90°.

Опыт показывает, что в цепи переменного тока, содержащей конденсатор, сила тока подчиняется закону Ома, в формулу которого входит некоторая величина х_с, называемая емкостным сопротивлением конденсатора:

I = U/x_c,

где U и I—эффективные величины переменного напряжения и тока.

Емкостное сопротивление конденсатора зависит от его емкости С и круговой частоты ω переменного тока и вычисляется по формуле

x_c = 1/ωC = 1/2πvC

где х_с измеряется в омах, С — в фарадах и v — в герцах.

Смысл этой формулы следующий. При переменном токе сила тока I в цепи конденсатора прямо пропорциональна величине заряда и частоте смены зарядов. Заряд конденсатора при данном напряжении прямо пропорционален его емкости С, а частота может быть заменена круговой частотой ω . В конечном итоге сила тока прямо пропорциональна произведению емкости на круговую частоту:

I ≈ ωC .

Следовательно, величина ωC характеризует проводимость цепи с конденсатором, а величина, обратная ей, т. е х_с = 1/ ωC , характеризует сопротивление цепи.

Как видно из формулы, емкостное сопротивление конденсатора зависит от частоты приложенного напряжения. Поэтому емкостное сопротивление нескольких параллельно включенных конденсаторов значительной емкости при токе низкой частоты может быть одного порядка с сопротивлением конденсатора небольшой емкости в цепи высокой частоты.

Емкостное сопротивление, также как и индуктивное, называется ре активным, так как в нем не происходит потери энергии.

Полное сопротивление цепи при переменном токе

В цепи переменного тока могут быть совместно как активное, так и индуктивное и емкостное сопротивления. В этом случае ток в цепи также подчиняется закону Ома, в формулу которого подставляется величина Z, называемая полным сопротивлением цепи или импедансом:

I = U/Z ,

где U и I — эффективные величины тока и напряжения.

Полное сопротивление Z вычисляется в зависимости от активного R, индуктивного x_L и емкостного х_с сопротивлений цепи по формулам, учитывающим фазовые сдвиги между током и напряжением, обусловленные индуктивностью и емкостью цепи.

В простейшем случае — при последовательном включении сопротивлений R, x_L и х_с полное сопротивление Z находится из соотношения

Z 2 = R 2 + (x_L — х_с ) 2 , откуда

Ткани организма не имеют практически заметной индуктивности, но, как указывалось, обладают емкостью, поэтому при действии переменного тока должен учитываться импеданс тканей. Применительно к простейшей эквивалентной схеме, из последовательно включенных сопротивления и емкости (см. рис. 247, а), импеданс определяется так:

Z 2 = R 2 + х 2 _с, откуда

Для эквивалентной схемы при параллельном включении сопротивления и емкости :

1/Z 2 = 1/R 2 + 1/x 2 C, откуда

Z = 1/√((1/R 2 ) + ω 2 C 2 ) = R/√(1 + ω 2 C 2 R 2 )

Импеданс тканей организма зависит от ряда физиологических условий, в частности от их кровенаполнения. На этом основан метод исследования функции кровообращения, называемый реографией. При этом регистрируется изменение в течение цикла сердечной деятельности импеданса определенного участка тканей (чаще на конечностях), на границах которого накладываются электроды. При реографии применяется переменный ток частотой 20—30 кгц и измерительная схема по типу моста Уитстона.

Сложение и разложение токов

Электрический фильтр в электрических цепях нередко приходится встречаться с явлением сложения и разложения токов. Простейшим примером может служить разветвленная цепь постоянного тока, в которой общий ток разделяется на токи, протекающие по разветвлениям; затем эти токи снова складываются в общий ток не разветвленной цепи. При этом силы токов, протекающих в разветвлениях, обратно пропорциональны их сопротивлениям.

Может иметь место сложение и разложение токов, различных по характеру, например постоянного и переменного. Для того чтобы подойти к подобным явлениям, составим две параллельные цепи, содержащие лампочку накаливания, и в одной цепи катушку индуктивности L с железным сердечником, а в другой — конденсатор С большой емкости. Подключим их к источнику постоянного напряжения. Лампочка загорится только в цепи с индуктивностью (рис. 4, а). Если подключим схему к источнику переменного напряжения, то загорится только лампочка в цепи с емкостью (рис. 4, б).

Причина этого заключается в том, что катушка создает большое индуктивное сопротивление переменному току и в то же время имеет ничтожно малое сопротивление постоянному току. Наоборот, конденсатор имеет для постоянного тока бесконечно большое сопротивление и сравнительно небольшое — для переменного. Можно считать, что постоянный ток в данном случае проходит только через цепь с индуктивностью, а переменный — только через цепь с емкостью, т. е. индуктивное и емкостное сопротивления могут обусловливать распределение переменного и постоянного токов в сложной цепи.

Для выяснения характера результирующего тока, протекающего по сопротивлению R, надо произвести сложение мгновенных значений постоянного и переменного токов для ряда последующих моментов времени. Проще всего это сделать графически, складывая ординаты графиков обоих токов (рис. 276, а и б). В результате получится ток, график которого изображен на рис. 276, в. Такой ток, периодически изменяющийся по величине, но постоянный по направлению, называется пульсирующим. Характер тока можно наблюдать, если к концам сопротивления R присоединить осциллограф.

При этом, если в точке а цепи происходит сложение постоянного и переменного токов, в результате чего получается пульсирующий ток то в точке b происходит обратно разделение пульсирующего тока на постоянный и переменный.

Обобщая рассмотренный случай, можно сказать, что в электрических цепях возможно сложение и разделение токов различного характера. При этом в любой момент времени мгновенное значение общего тока должно равняться сумме мгновенных значении составляющих токов и наоборот. Это положение, называемое принципом суперпозиции (наложения) токов, во многих случаях значительно облегчает анализ явлений в электрических цепях, а также используется при устройстве различных приборов и аппаратов.

На основании этого принципа можно, например, любой пульсирующий ток рассматривать как ток, состоящий из постоянной и переменной составляющих которые можно соответствующим образом разделить.

Принцип суперпозиции позволяет, используя теорему Фурье, рассматривать токи сложной формы как сумму синусоидальных токов соответствующих частот, т. е. производить гармонический анализ токов сложной формы и т. п.

Разделение токов в электрических цепях

Разделение токов в электрических цепях производится при помощи электрических фильтров, которые представляют разветвленную цепь, со держащую катушки индуктивности и конденсаторы. Действие фильтра основано на том, что сопротивление его отдельных ветвей зависит от частоты проходящего по ним тока, причем для индуктивных и емкостных цепей эта зависимость обратная. Поэтому ток более низкой частоты (включая и постоянный) проходит преимущественно по индуктивным, а ток более высоких частот — и по емкостным ветвям фильтра.

Простейший электрический фильтр для разделения пульсирующего тока на постоянную и переменную составляющие состоит из параллельно включенных емкости и индуктивности: постоянный ток будет проходить через цепь с индуктивностью, переменный — через цепь с емкостью. Подобный фильтр применяется в выпрямителях для получения постоянного тока . Фильтр состоит из двух параллельных цепей, содержащих соответствующим образом подобранные емкость С и индуктивность L и последовательно с ними лампочки накаливания Л₁ и Л₂.

Слева расположен переключатель П, с помощью которого на фильтр подается поочередно переменное, постоянное и пульсирующее (от выпрямителя) напряжения, характер которых демонстрируется на экране осциллографа О, подключенного к фильтру. При переменном напряжении зажигается лампочка Л ₁ в цепи с емкостью, при постоянном — лампочка Л₂ в цепи с индуктивностью и при пульсирующем — обе лампочки, но со сниженным накалом.

§53. Емкость в цепи переменного тока

Ток и напряжение. В цепи постоянного тока емкость (идеальный конденсатор) имеет сопротивление бесконечно большое, так как после окончания процесса заряда такой конденсатор не пропускает электрический ток. Однако при подключении емкости к источнику переменного тока (рис. 191,а) происходит непрерывный процесс его заряда и разряда, при этом через емкость проходит переменный ток.

Ток i при включении в цепь переменного тока емкости определяется количеством электричества q, проходящим по этой цепи в единицу времени. Следовательно,

где ?q — изменение количества электричества (заряда q) за время ?t.

Количество электричества q, накопленное в конденсаторе при изменении напряжения и, также непрерывно изменяется. Поэтому, учитывая формулу (69), будем иметь:

где ?u — изменение напряжения и за время ?t.

Из рис. 191,б видно, что скорость изменения напряжения ?u/?t будет наибольшей в моменты времени, когда угол ?t равен 0; 180 и 360°. Следовательно, в эти моменты времени ток i имеет максимальное значение. В моменты же времени, когда угол ?t равен 90° и 270°, скорость изменения напряжения ?u/?t = 0 и поэтому i = 0.

В течение первой четверти периода происходит заряд емкости и в цепи течет ток заряда, который считаем положительным. При этом по мере заряда емкости и увеличения разности потенциалов на электродах ток i уменьшается. При ?t = 90° емкость полностью заряжается, разность потенциалов на электродах становится равной напряжению и источника и ток i = 0.

Во второй четверти периода емкость начнет разряжаться и ток i изменяет свое направление (становится отрицательным). При

Рис. 191. Схема включения в цепь переменного тока емкости (а), кривые тока i напряжения u (б) и векторная диаграмма (в)

?t =180°, когда u = 0, ток i разряда достигает максимального значения. В этот момент изменяется полярность напряжения и источника и начинается процесс перезаряда емкости при противоположном (отрицательном) направлении тока i. При со/ = 270° заряд прекращается, ток i становится равным нулю и начинается разряд при первоначальном (положительном) направлении тока.

Таким образом, емкость в течение одного периода изменения напряжения и дважды заряжается и дважды разряжается. Следовательно, в цепи (см. рис. 191, а) непрерывно протекает переменный ток i. Из рис. 191,б видно, что при включении в цепь переменного тока емкости ток i опережает по фазе напряжение и на угол 90° или же что напряжение и отстает по фазе от тока i на угол 90° (рис. 191,в).

Емкостное сопротивление. Сопротивление, которое оказывает емкость переменному току, называют емкостным. Оно обозначается X_с и измеряется в омах. Физически емкостное сопротивление обусловлено действием э. д. с. е_с, возникающей в конденсаторе С. Эта э. д. с. направлена против приложенного напряжения u, так как заряженный конденсатор можно рассматривать как источник с некоторой э. д. с. е_с, действующей между его пластинами. Поэтому э. д. с. е_с препятствует изменению тока под действием напряжения u, т. е. оказывает прохождению переменного тока определенное сопротивление.

Из формулы (70) следует, что чем больше емкость С и скорость изменения напряжения ?u/?t, т. е. частота его изменения f (значение ?), тем больше ток i в цепи с емкостью и тем меньше емкостное сопротивление:

Закон Ома для цепи с емкостью:

I = U / X_с = U / ( 1 /(?C) )

Электрическая мощность. Рассмотрим, как изменяется электрическая мощность в цепи переменного тока с емкостью. Ее можно получить графическим путем, перемножая ординаты кривых тока и напряжения при различных углах ?t. Кривая мгновенной мощности (см. рис. 179,б) представляет собой синусоиду, которая изменяется с двойной частотой 2? по сравнению с частотой изменения тока i и напряжения u. Следовательно, в этой цепи тоже имеет место непрерывный колебательный процесс обмена энергией между источником и емкостью. В первую и третью четверти периода мощность положительна, т. е. конденсатор получает энергию W от источника и накапливает ее в своем электрическом поле. Во вторую и четвертую четверть периода конденсатор отдает накопленную энергию источнику (мощность отрицательна); при этом протекание тока по цепи поддерживается э. д. с. е_с. В целом за период в емкостное сопротивление не поступает электрическая энергия (среднее значение мощности за период равно нулю). Поэтому емкостное сопротивление, так же как и индуктивное, относят к группе реактивных сопротивлений.

Для характеристики процесса обмена энергией между источником и емкостью введено понятие реактивной мощности емкости:

где U_с — напряжение, приложенное к конденсатору (действующее значение) .

Эту мощность можно выразить также в виде

Следует отметить, что в реальных конденсаторах имеют место потери мощности, вследствие чего они потребляют от источника некоторую электрическую энергию. Потери мощности вызваны тем, что в диэлектрике, разделяющем пластины конденсатора, под действием переменного электрического поля возникают токи смещения, нагревающие диэлектрик. Чем больше напряжение и частота его изменения, тем больше потери мощности в конденсаторах от токов смещения. Однако эти потери имеют значение только в конденсаторах, применяемых в высокочастотных установках. При стандартной частоте 50 Гц потери в конденсаторах настолько малы, что их обычно не учитывают.

Теория электроники §2 Конденсаторы и цепи переменного тока

Наряду с резисторами в электронных схемах широко применяются такие пассивные элементы как конденсаторы. Вообще резисторы и конденсаторы составляют основу всей электронной схематехники. Конденсаторы применяются при генерации различного рода колебаний, в схемах фильтров, для блокировки и шунтирования сигналов.

Конденсатором называется устройство с двумя выводами которые соединены с двумя пластинами, разделёнными диэлектриком. От площади этих пластин зависит основная характеристика конденсаторов - ёмкость. Конденсатор обладает свойством: Q=CU . Иначе говоря конденсатор с ёмкостью С (фарад) к которому приложено напряжение U (вольт) накапливает заряд Q (кулон) на одной пластине и -Q на другой.

Образно конденсаторы можно назвать частотно зависимыми сопротивлениями. Они позволяют создавать, например, частотно зависимые делители напряжения. Ещё конденсаторы не рассеивают энергию, хотя через них и протекает электрический ток. Объясняется это тем, что ток и напряжение в конденсаторе смещены друг относительно друга по фазе на 90 градусов. Это свойство широко используется в схемах переменного тока, где в качестве ограничительного сопротивления используется конденсатор. Вот классический пример .

Конденсатор является более сложным элементом электронной схемы чем резистор. Закон Ома на нём работает по-другому. Ток не просто пропорционален напряжению, а зависит от скорости изменения этого напряжения. Если напряжение на конденсаторе ёмкостью 1 Фарад изменится в течении 1 сек. на 1 В , то мы получим ток равный 1 А . Ёмкость в 1 Ф , это очень большое значение, в реальных схемах используются ёмкости конденсаторов, измеряемые в микрофарадах ( мкФ ), нанофарадах ( нФ ) и пикофарадах ( пФ ).

Параллельное и последовательное соединение конденсаторов

Ёмкость нескольких параллельно соединённых конденсаторов равна сумме их ёмкостей, а для последовательного соединения действует то же правило, как для параллельного соединения резисторов.

Ток заряжающий конденсатор пропорционален не напряжению, а скорости его изменения, и мощность на конденсаторе не обращается в тепло, а сохраняется в виде накопленной внутренней энергии электрического поля. При разряде конденсатора происходит извлечение этой энергии.

Читайте также: