Чему равен угол сдвига фаз между напряжением и током в индуктивности

Некоторые закономерности

Первое, что можно сразу заметить — если значение угла сдвига фазы недостаточное, то нужный эффект не достигается. На следующем графике (рис. 2) представлены зависимости прироста КПД от фазового угла \(\alpha\) и коэффициента отклонения от резонанса \(\Delta\) (КОР). Здесь видно, что если \(\alpha = 0\) (красный график), то прирост КПД всегда меньше единицы. При увеличении угла сдвига, после некоторого его значения, прирост выходит за единичное значение, что может означать на практике появление нужного эффекта. В данном случае, это происходит при \(\alpha \gt 0.25\). Например, малиновая пунктирная кривая, при \(\alpha = 0.4\), достигает в максимуме значения 1.8.

Второе, из графика видно, что максимум прибавки находится не точно в резонансе, а чуть выше него. Можно проверить, что если угол сдвига отрицательный, то такой максимум будет располагаться ниже резонанса. Это наблюдалось и в эксперименте.

Рис.2. Зависимость прироста КПД от угла сдвига и КОР при Q = 10, q = 1

Этот график (рис. 2) построен при следующих значениях добротностей: \(Q = 10, q = 1\), но давайте изменим эти параметры на другие, например, увеличим добротность контура до 100. Как видим (рис. 3), прирост также увеличился, но минимальные значения фазового угла, при которых появляется эффект, всё равно остаются.

Рис.3. Зависимость прироста КПД от угла сдвига и КОР при Q = 100, q = 1

Давайте увеличим до десяти также и добротность системы \(q\), что значительно увеличит максимальные значения прироста КПД (рис. 4).

Рис.4. Зависимость прироста КПД от угла сдвига и КОР при Q = 100, q = 10

Но можно ли получить эффект при обоих добротностях равных единице? Согласно математике — можно, правда при этом придётся увеличить частоту генератора примерно в 1.3 раза относительно резонансной частоты LC-контура, а угол сдвига фазы сделать достаточно большим (рис. 5). К слову, угол в этой работе везде вычисляется в радианах.

Рис.5. Зависимость прироста КПД от угла сдвига и КОР при Q = 1, q = 1

Некоторые упрощения

Формула (10), по которой были построены все графики, довольно громоздка. Но если принять некоторые условия, то её можно здорово упростить. Если мы допустим, что система находится в резонансе, угол сдвига небольшой, а добротности наоборот — достаточно большие, то формула (10) упростится так: \[K_ \approx q\, Q\, \alpha^2, \quad \Delta = 0, \quad q\, Q\, \alpha \gg 1, \quad \alpha \lt 0.45 \qquad (11)\]

Пример по формуле (11)
Предположим, что частота генератора 16 кГц, индуктивность катушки L = 1 мГн, нагрузка R = 100 Ом, а угол сдвига \(\alpha = 0.12\). Тогда, из формулы (11) следует, что для прироста КПД более единицы требуется, чтобы произведение двух добротностей было такое: \(q Q \gt 70\). Импеданс катушки на частоте генератора: \(\omega L = 100\) Ом, следовательно добротность системы равна единице: \(q = 1\). Отсюда следует, что необходимо увеличивать добротность катушки \(Q\) минимум до 70, но учитывая потери на КПД всех преобразований и самого сдвига, этот параметр следует увеличить ещё в несколько раз. В реальности этого можно добиться применяя толстый медный провод, в идеале, выполненный из бескислородной меди.

Также, можно рассчитать и длительность сдвига. Учитывая, что угол считается в радианах, а полный период будет равный \(2 \pi\), то по длительности сдвиг будет длиться примерно 2% времени от полного колебания генератора, или по времени — примерно 1 мкс.

В этой работе было представлено возможное теоретическое обоснование экспериментально полученному эффекту сдвига фазы тока в катушке индуктивности. В формулах, выведенных здесь, не учитываются некоторые параметры, например, потери в диэлектрике конденсатора или в проводах. Также, не учитывается КПД элементов генератора и затраты на создание быстрого фазового сдвига. Тем не менее, в определённом приближении удалось выявить и сам эффект, и некоторые его закономерности в математической аналитической форме, что может являться платформой для дальнейшего развития этой несомненно интересной темы.

Из графиков, представленных в этой работе, хорошо видно отличие кривой классического резонанса и резонанса при сдвиге фазы тока: максимум смещается в зависимости от угла сдвига. Этот момент нужно будет учитывать при разрабоке устройств, работающих на этом принципе.

Есть некоторые особенности применения выведенных в этой работе формул. Так например, в самом начале мы предположили, что сдвиг тока будет осуществляться только лишь каждое десятое колебание. Отсюда следует, что средний прирост КПД необходимо делить на 10. Поскольку время реакции LC-контура определяется его добротностью, и добротность примерно равна этому числу колебаний, то в более общем случае, полученные результаты правильнее делить на параметр \(Q\). При этом, число колебаний, через которое осуществляется сдвиг фазы, также примерно равно \(Q\). Несмотря на этот нюанс, прирост КПД более единицы возможен; примеры — на рисунках (4) и (5).

Отсюда прямо следует, что для достижения максимального эффекта необходимо увеличивать не столько добротность LC-контура, сколько добротность системы \(q\). Также, в реальных устройствах необходимо достижение минимального угла сдвига фазы тока, при котором будет наблюдаться предлагаемый здесь эффект.

1. Л.А.Бессонов. Теоретические основы электротехники. 1996. – 638 с, пп 3.11. Основы символического метода расчёта цепей синусоидального тока. комплексных чисел для расчета электрических цепей (Метод комплексных амплитуд).
2. ЛЕКЦИЯ №4. Метод комплексных амплитуд.
3. Википедия. Формула Эйлера.
4. Википедия. Правила Кирхгофа.
5. Википедия. Угловая частота.

© Перепечатка материалов сайта возможна с условием установки ссылки на него и соблюдением авторских прав

Сдвиг фаз переменного тока и напряжения

Мощность постоянного тока, как мы уже знаем, равна про­изведению напряжения на силу тока. Но при постоянном токе направления тока и напряжения всегда совпадают. При пере­менном же токе совпадение направлений тока и напряжения имеет место только в случае отсутствия в цепи тока конденса­торов и катушек индуктивности.

Для этого случая формула мощности

На рисунке 1 представлена кривая изменения мгновенных значений мощности для этого случая (направление тока и напряжения совпадают). Обратим внимание на то обстоятельство, что направления векторов напряжения и тока в этом случае совпадают, то есть фазы тока и напряжения всегда одинаковы.

Рисунок 1. Сдвиг фаз тока и напряжения. Сдвига фаз нет, мощность все время положительная.

При наличии в цепи переменного тока конденсатора или катушки индуктивности, фазы тока и напряжения совпадать не будут.

О причинах этого несовпадения читайте в моем учебники для емкостной цепи и для индуктивной цепи, а сейчас установим, как будет оно влиять на величину мощности переменного тока.

Представим себе, что при начале вращения радиусы-век­торы тока и напряжения имеют различные направления. Так как оба вектора вращаются с одинаковой скоростью, то угол между ними будет оставаться неизменным во все время их вращения. На рисунке 2 изображен случай отставания вектора тока Im от вектора напряжения Um на угол в 45°.

Рисунок 2. Сдвиг фаз тока и напряжения. Фазы тока и напряжения сдвинуты на 45, мощность в некоторые периоды времени становиться отрицательной.

Рассмот­рим, как будут изменяйся при этом ток и напряжение. Из по­строенных синусоид тока и напряжения видно, что когда напряжение проходит через ноль, ток имеет отрицательное значение.

Затем напряжение достигает своей наибольшей ве­личины и начинает уже убывать, а ток хотя и становится по­ложительным, но еще не достигает наибольшей величины и продолжает возрастать. Напряжение изменило свое направле­ние, а ток все еще течет в прежнем направлении и т. д. Фаза тока все время запаздывает по сравнению с фазой напряже­ния. Между фазами напряжения и тока существует постоян­ный сдвиг, называемый сдвигом фаз.

Действительно, если мы посмотрим на рисунок 2, то заме­тим, что синусоида тока сдвинута вправо относительно сину­соиды напряжения. Так как по горизонтальной оси мы откла­дываем градусы поворота, то и сдвиг фаз можно измерять в градусах. Нетрудно заметить, что сдвиг фаз в точности равен углу между радиусами-векторами тока и напряжения.

Вследствие отставания фазы тока от фазы напряжения его направление в некоторые моменты не будет совпадать с на­правлением напряжения. В эти моменты мощность тока будет отрицательной, так как произведение положительной величи­ны на отрицательную величину всегда будет отрицательным. Эта значит, что внешняя электрическая цепь в эти моменты становится не потребителем электрической энергии, а источни­ком ее. Некоторое количество энергии, поступившей в цепь во время части периода, когда мощность была положительной, возвращается источнику энергии в ту часть периода, когда мощность отрицательна.

Чем больше сдвиг фаз, тем продолжительнее становятся части периода, в течение которых мощность делается отрица­тельной, тем, следовательно, меньше будет средняя мощность тока.

При сдвиге фаз в 90° мощность в течение одной четверти периода будет положительной, а в течение другой четверти периода — отрицательной. Следовательно, средняя мощность тока будет равна нулю, и ток не будет производить никакой работы (рисунок 3).

Рисунок 3. Сдвиг фаз тока и напряжения. Фазы тока и напряжения сдвинуты на 90, мощность в течении одной четвери периода положительна, а в течении другой отрицательна. В среднем мощьноть равна нулю.

Теперь ясно, что мощность переменного тока при наличии сдвига фаз будет меньше произведения эффективных значений тока и напряжения, т. е. формулы

в этом случае будут неверны

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Угол сдвига фаз между током и напряжением

Начальные фазы электромагнитных синусоидальных колебаний первичного и вторичного напряжения, с частотой одинаковой величины, могут существенно различаться на некоторый угол сдвига фаз (угол φ). Переменные величины могут неоднократно в течение определенного периода некоторого времени изменяются с определенной частотой. Если электрические процессы имеют неизменный характер, а сдвиг фаз равен нулю, это свидетельствует о синхронизме источников величин переменного напряжения, например, трансформаторов. Сдвиг фазы служит определяющим фактором коэффициента мощности в электрических сетях переменного тока.

Угол сдвига фаз находится при необходимости, тогда, если один из сигналов является опорным, а второй сигнал с фазой в самом начале совпадает с углом сдвига фаз.

Измерение угла сдвига фаз производится прибором, в котором присутствует нормированная погрешность.

Фазометр может производить измерение угла сдвига в границах от 0 о до 360 о в некоторых случаях от -180 о С до +180 о С, а диапазон измеряемых частот сигналов может колебаться от 20Гц до 20 ГГц. Измерение гарантируется в том случае если напряжение входного сигнала равно от 1 мВ до 100 В, если же напряжение входного сигнала превышает эти границы точность измерения не гарантируется.

Методы измерения угла сдвига фаз

Существует несколько способов измерения угла сдвига фаз, это:

1. Использование двухлучевого или двухканального осциллографа.
2. Компенсационный метод основан на сравнении измеряемого фазового сдвига, с фазовым сдвигом, который предоставляется образцовым фазовращателем.
3. Суммарно-разностный метод, он заключается в использовании гармонических или сформированных прямоугольных сигналов.
4. Преобразование сдвига фаз во временном интервале.

Как измеряется угол сдвига фаз осциллографом

Осциллографический способ можно отнести к самому простейшему с погрешностью в районе 5 о . Определение сдвига осуществляется при помощи осциллограмм. Существует четыре осциллографических метода:

1. Применение линейной развертки.
2. Метод эллипса.
3. Метод круговой развертки.
4. Использование яркостных меток.

Определение угла сдвига фаз зависит от характера нагрузки. При определении фазного сдвига в первичной и вторичной цепях трансформатора, углы могут считаться равными и практически не отличаются друг от друга.

Угол сдвига фаз напряжений, измеряемый по эталонному источнику частоты и при использовании измерительного органа лает возможность обеспечить точность всех последующих измерений. Фазные напряжения и угол сдвига фаз зависят от нагрузки, так симметричная нагрузка обуславливает равенство фазного напряжения , токов нагрузки и угол фазного сдвига, также будет равна нагрузка по потребляемой мощности на всех фазах электроустановки.

Угол сдвига фаз между током и напряжением в несимметричных трехфазных цепях не равны друг другу. Для того чтобы вычислить угол сдвига фаз (угол φ) в цепь включают последовательно присоединенные сопротивления (резисторы), индуктивности и конденсаторы (емкости).

Рис. №1. Последовательное соединение сопротивления, индуктивности и емкости для вычисления угла сдвига фаз. В этом контуре протекает переменный ток, который способствует возникновению ЭДС.

Рис. №2. Схема проведения опыта по определению сдвига фаз между током и напряжением. Слева показаны схемы подключения конденсаторов, катушек индуктивности и резисторов, справа показаны результаты опыта.

Из результатов опыта можно определить, что сдвиг фаз между напряжением и током служит при определении нагрузки и не может зависеть от переменных величины тока и напряжения в электрической сети.

Как вывод, можно сказать, что:

1. Составляющие элементы комплексного сопротивления, такие как резистор и емкость, а также проводимость не будут взаимообратными величинами.
2. Отсутствие одного из элементов делает резистивные и реактивные значения, которые входят в состав комплексного сопротивления и проводимости и делают их величинами взаимообратными.
3. Реактивные величины в комплексном сопротивлении и проводимости используются с противоположным знаком.

Угол сдвига фаз между напряжением и током всегда выражается, как главный аргументированный фактор комплексного сопротивления φ.

Последовательное соединение активного, индуктивного, емкостного сопротивлений. Резонанс напряжений. Коэффициент мощности

Рассмотренные в предыдущих трёх статьях электрические цепи переменного тока. содержащие только активное , только емкостное и только индуктивное сопротивления были взяты для того, чтобы полнее раскрыть свойства перечисленных сопротивлений.

В реальных электрических цепях присутствуют все перечисленные сопротивления: активное, индуктивное, емкостное.

Сейчас будем говорить о цепях, содержащих последовательно соединённые активное сопротивление, катушку индуктивности и конденсатор.

Нам предстоит найти полное сопротивление показанной на рисунке цепи и разность фаз между действующими значениями тока и напряжения в ней.

Мгновенное значение приложенного к цепи напряжения (на зажимах цепи) складывается из мгновенных значений напряжений на каждом сопротивлении, то есть будет равно сумме мгновенных напряжений на активном, индуктивном и емкостном сопротивлениях:

Но действующее значение напряжения на зажимах цепи U не будет равно алгебраической сумме напряжений на каждом участке цепи из-за разности фаз между током и напряжением U на каждом сопротивлении (активном, индуктивном, емкостном).

Для нахождения связи между перечисленными напряжениями удобно пользоваться векторной диаграммой.

Векторная диаграмма - это графическое изображение значений периодически изменяющихся величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков - векторов .

Например, мы знаем, что напряжение на зажимах цепи переменного тока меняется по синусоидальному закону, то есть колебания напряжения сети изображается синусоидой .

Мгновенные значения напряжения внешнего источника можно рассматривать ещё как проекции вектора напряжения U (вектора ОВ) на вертикальную ось при равномерном вращении этого вектора против часовой стрелки.

Точно также векторами можно изобразить переменный ток в цепи, переменные напряжения на активном сопротивлении, на емкостном и индуктивном сопротивлениях.

Колебания перечисленных величин имеют одну частоту , но сдвинуты по фазе относительно друг друга.

Их взаимное расположение со временем не меняется. Тогда все перечисленные вектора можно показать на одной диаграмме.

Действующее значение вектора напряжения внешнего источника U будет равно геометрической сумме векторов напряжений на каждом сопротивлении цепи.

Такое сложение векторов значительно проще сложения синусоид, поэтому векторные диаграммы применяют очень часто.

Ниже рассказано как построена диаграмма, изображённая на рис. 15, которая решает задачу нахождения полного сопротивления рассматриваемой электрической цепи и нахождения сдвига фаз между током и напряжением.

Как видим из формулы закона Ома, полное сопротивление цепи не равно простой сумме активного R и реактивного сопротивлений.

Индуктивное и емкостное напряжения имеют разные знаки - они направлены навстречу друг другу.

Итак, полное сопротивление цепи переменного тока:

На рис 15 прямоугольный треугольник векторной диаграммы составлен следующими векторами: вектором активного напряжения,

вектором индуктивного напряжения

вектором емкостного напряжения:

и вектором действующего напряжения U стороннего источника .

Из диаграммы, применив закон Пифагора, получим выражение для действующего напряжения:

Если каждое из этих напряжений (рис. 15) разделить на ток, то получим такой же треугольник , составленный сопротивлениями.

Прилежащий к углу катет даёт активное сопротивление цепи R , противолежащий катет - общее реактивное сопротивление цепи X , а гипотенуза треугольника даёт полное сопротивление цепи Z , состоящей из последовательно соединённых активного, индуктивного и ёмкостного сопротивлений..

Из представленного треугольника сопротивлений получаем соотношение:

то есть сдвиг фаз (угол фи) между током и напряжением в цепи определяется отношением реактивного сопротивления цепи к её активному сопротивлению.

Возможны следующие случаи :

Когда индуктивное сопротивление больше емкостного, то есть когда в цепи преобладает индуктивность , то ток отстаёт от напряжения на угол "фи".

Когда индуктивное сопротивление меньше емкостного, то есть когда в цепи преобладает емкостное сопротивление, то ток опережает напряжения на угол "фи".

Из треугольника сопротивлений получаем ещё такое выражение:

определяется отношением активного сопротивления цепи к её полному сопротивлению. Его называют коэффициентом мощности .

Значение коэффициента мощности определяет активную (полезную) мощность цепи.

Посмотрим, как получают выражение для мощность цепи переменного тока.

Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока, которые выражаются формулами:

Взяв произведение мгновенных значений тока и напряжения и проанализировав полученное выражение, придём к выводу, что мощность может быть как положительной (когда энергия от источника поступает в цепь), так и отрицательной (когда уходит из цепи в источник).

Практически важно знать среднюю за период мощность, так как только средняя мощность характеризует энергию, потребляемую цепью за единицу времени.

После математических преобразований получается следующее выражение для средней мощности , которую можно называть просто мощностью цепи:

то есть мощность электрической цепи переменного тока равна произведению действующих значений напряжения и силы тока на косинус угла между током и напряжением ,

Косинус сдвига фаз между током и напряжением назвали коэффициентом мощности .

Видим, что коэффициент мощности оказывает очень большое влияние на мощность электрической цепи.

Коэффициент мощности достигает максимального значения, равного единице, при угле "фи" (сдвиге фаз) равном нулю или когда индуктивное сопротивление равно емкостному сопротивлению:

При этом условии цепь переменного тока имеет минимальное сопротивление, равное активному сопротивлению цепи.

Ток же в цепи в этом случае достигает максимального значения (явление резонанса ).

Приложенное к цепи напряжение U равно активному напряжению (напряжению на активном сопротивлении R ).

Но при этом есть и индуктивное напряжение и равное ему по модулю, но противоположное по направлению (сдвинутое по фазе на половину периода) емкостное напряжение.

Причём они могут достигать достаточно больших значений, гораздо больших, чем напряжение сети U. Реактивные напряжения (индуктивное, емкостное) будут превышать напряжение сети U во столько раз, во сколько раз реактивные сопротивления (индуктивное, емкостное) будут больше активного сопротивления R .

Поэтому рассмотренное явление резонанса называется резонансом напряжений .

При резонансе мгновенные мощности в реактивных участках цепи (в катушке индуктивности и конденсаторе) равны и противоположны по знаку. Это значит, что увеличение энергии магнитного поля в катушке индуктивности происходит в результате уменьшения электрической энергии запасённой в конденсаторе, и наоборот, а энергия генератора расходуется только на активном сопротивлении.

Для электрической цепи промышленного тока резонанс вреден , так как может привести к пробою изоляции катушки и конденсатора.

По этой причине коэффициент мощности на предприятиях поднимают до 0,9 - 0,95, чтобы получить большую мощность, но чтобы не получить явление резонанса.

Какие меры применяются для повышения коэффициента мощности на промышленных предприятиях будет сказано позднее.

В цепь переменного тока (120В, 50 Гц) последовательно включены катушка с активным сопротивлением 3 Ом и индуктивным сопротивлением 4 Ом и конденсатор. При какой ёмкости конденсатора наступит резонанс напряжений? Какими будут при этом ток в цепи, активное, индуктивное и емкостное напряжения?

Как с помощью векторной диаграммы определять параметры 6 и 9-фазных электрических цепей

1. Если в той или иной фазе присутствует только емкостная нагрузка Хс, то вектор тока будет опережать вектор напряжения на 90 градусов.
2. Наличие только индуктивности Х l будет влиять противоположно - вектор напряжения в его движении против часовой стрелки будет опережать вектор тока на те же 90 градусов.
3. Присутствие только активной резистивной нагрузки R обеспечивает полное согласованное движение вектора тока и напряжения - угол сдвига фаз между ними равен 0.
4. Если в той или иной фазе присутствует одновременно емкость, индуктивность и активное сопротивление, то угол сдвига фи можно найти из результата расчета cos фи. И он будет за исключением случая резонанса меньше 90 градусов.

360 градусов полного оборота вращающегося против часовой стрелки вектора при построении векторной диаграммы трехфазной цепи предполагают распределение векторов напряжения 3 фаз А, В и С через 120 градусов.

Соответственно, в шестифазной цепи это будет 350 / 6 = 60 градусов и в девятифазной - 360 / 9 = 40 градусов.

Чему равен угол сдвига фаз между напряжением и током в индуктивности

Рис.1. Схема для расчёта энергетики фазового сдвига

Получить такой сдвиг можно параметрическим способом, что подробно описывается в методике этого эксперимента. Поскольку получение такого сдвига, вероятно, возможно и другими методами, то представляемая здесь математическая модель хоть и приближённая, но наиболее обобщённая.

Для идеального решения этой задачи потребовалось бы применение рекурсивных дифференциальных уравнений, что довольно сложно и просто невозможно без применения компьютерных вычислений, а наша задача — получить оценочные данные этого эффекта в аналитическом виде. Поэтому, мы применим не совсем обычную методику, основанную на предположении о том, что в сравнении со скоростью изменения фазы тока, скорость изменения амплитуды тока в катушке можно считать медленно меняющейся. Такой подход очень идеализирован и не учитывает некоторые параметры, зато он относительно простой и в нём можно применить классический «Метод комплексных амплитуд» 1.

Алогритм наших действий следующий. Сначала необходимо найти зависимость тока в нагрузке R от тока в индуктивности L: \[I = a\, U + b\, I_L \qquad (1)\] где: \(a, b\) — некоторые коэффициенты, которые в общем случае, могут быть комплексными; ток в индуктивности \(I_L\) имеет комплексное значение, которое и показывает сдвиг фазы относительно источника напряжения \(U\), задающего эти колебания: \[I_L = Re(I_L) + \mathbf\, Im(I_L) \qquad (2)\] Здесь \(Re(I_L), Im(I_L)\) — соответственно действительное и мнимое значение тока, соотношение между которыми и даёт эту фазу. Но это постоянный фазовый сдвиг в установившемся процессе, а нам необходимо здесь учесть ещё и предполагаемый в эксперименте быстрый сдвиг фазы, на который цепь, по нашему предположению, реагировать не успевает. Учёт этого значения в радиоэлектронике делается просто: ток домножается на формулу Эйлера \(e^ <\mathbf\alpha>\) [4], где \(\alpha\) — угол быстрого фазового сдвига. Значение тока в индуктивности, учитывающее и установившееся, и переходное значение фазы, теперь будет таким: \[I_ = a\, U + b\, I_L\, e^ <\mathbf\alpha> \qquad (3)\] Чтобы отличить установившийся ток от тока со смещением, последний — будем обозначать теперь так: \(I_\). Можно заметить, что если угол \(\alpha\) равен нулю, то формула (3) превращается в формулу (1). Следующим шагом нашего алгоритма будет подсчёт энергетических соотношений.