Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену
Обновлено: 16.05.2024
Дам много баллов Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену, причём первый каменщик работал 6 часов, второй – 4 часа, а третий – 7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй – 2 часа, а третий – 5 ча.
Дам много баллов Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену, причём первый каменщик работал 6 часов, второй – 4 часа, а третий – 7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй – 2 часа, а третий – 5 часов, то они выполнили бы 2/3 всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и то же время?
Раздел II. № 7.24. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова. За какое время мог бы выполнить работу каждый отдельно?
1) Два строителя выложили стену из кирпичей за
14 дней, причем второй присоединился к первому
через 3 дня после начала работы. Известно, что пер-
вому строителю на выполнение всей работы потре-
бовалось бы на 6 дней больше, чем второму.
За сколько дней мог бы выложить эту стену каж-
дый строитель, работая отдельно?
2) Два мастера оклеили обоями квартиры на этаже
в новом доме за 15 дней, причем второй присоеди-
нился к первому через 7 дней после начала работы.
Известно, что первому мастеру на выполнение всей
работы потребовалось бы на 7 дней меньше, чем вто-
рому. За какое время мог бы выполнить эту работу
каждый мастер, работая отдельно?
«Текстовые задачи и методы их решения»
Задачи «на работу» делятся на два вида: на производительность труда и на производительность различных механизмов (труб, насосов и т. д.). Такие задачи часто вычисляются по формуле:
где P – производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени;
t – время, необходимое для выполнения всей работы.
Пусть Pt=1 – взаимообратные величины, т. е. вся работа А=1, следовательно:
Решим задачу на производительность труда.
Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену, причём первый каменщик работал 6 часов, второй – 4 часа, а третий – 7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй – 2 часа и третий – 5 часов, то было бы выполнено 2/3 всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и то же время?
Решим эту задачу путём составления системы уравнений.
Пусть х – скорость выполнения работы первого каменщика, y – второго, z – третьего. Всю работу примем за 1. Составим систему уравнений по условию задачи:
Надо найти , то есть
Умножим (2) на -2 и сложим почленно с (1). Получим:
Затем умножим (2) на -1,5 и сложим почленно с (1). Получим:
Следовательно, подставим в искомое выражение полученные значения для x, y, z: .
В итоге получим 6.
Ответ: каменщики выполнят эту работу за 6 часов.
Мы решили эту задачу путём составления систем уравнений.
Задачи «на работу» сложны тем, что в них абстрактное понятие «работа» приобретает различное конкретное содержание. В первой задаче работа выражалась в виде производительности труда каменщиков. В следующей задаче мы рассмотрим случай, в котором идёт речь о работе по наполнению бассейна.
При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза, а второго – в 1,6 раза, и при одновременной работе насосов бассейн стал наполняться за 6 часов. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта?
Пусть объём бассейна равен 1, тогда время его заполнения до ремонта первым насосом – x, а вторым – y часов. Следовательно, - производительность первого насоса до ремонта, а - производительность второго насоса до ремонта. Зная, что бассейн до ремонта насосов заполняется за 8 часов, то составим первое уравнение: , т.е. .
- производительность первого насоса до ремонта, а - производительность второго насоса после ремонта. Зная, что бассейн после ремонта насосов заполняется за 6 часов, то составим второе уравнение: , т.е. .
Решив оба уравнения можно составить систему:
Умножим (1) на 0,9 и вычтем из него (2):
В итоге получим y=24, x=12.
Из найденных значений для x и y вычислим производительность первого насоса после ремонта:
По формуле найдём время наполнения бассейна при работе только первого насоса после ремонта: ч.
Вывод: в результате решения задач двух разных видов мы выяснили, что все задачи на работу решаются по одной общей формуле (А=Pt) и в большинстве случаев решаются путём составления систем уравнений.
Задачи «на проценты»
Задачи «на проценты» - в большинстве случаев являются экономическими задачами, в которых идёт речь о вкладах в банк с тем или иным процентом. При их решении надо помнить, что процент есть сотая доля числа. Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами: нахождения части от целого, восстановление целого по его известной части, нахождение процентного прироста. Рассмотрим эти алгоритмы.
Пусть известна некоторая величина А , надо найти а % этой величины.
Если считать, что А есть 100%, а неизвестная часть х это а %, то из пропорции
Пусть известно, что некоторое число b составляет а % от неизвестной величины А . Требуется найти А .
Рассуждая аналогично, из пропорции получаем .
Пусть некоторая переменная величина А , зависящая от времени t , в начальный момент t 0 имеет значение А 0 , а в момент t 1 – значение А 1 .
Тогда абсолютный прирост величины А за время t 1 –t 0 будет равен А 1 –А 0 ; относительный прирост этой величины вычисляется по формуле , а процентный прирост по формуле .
Известно, что вклад, находящийся в банке, с начала года возрастает к концу года на определённый процент (свой для каждого банка). В начале года 5/6 некоторого количества денег положили в первый банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 670 у.е., а к концу второго года – 749 у.е. Было подсчитано, что если бы первоначально исходного количества денег положили во второй банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 710 у.е. В предложении, что исходное количество денег первоначально целиком положено в первый банк, определить величину вклада по истечении двух лет.
Обозначим через x первоначальную сумму денег. Тогда через а обозначим процент, на который возрастает сумма за год в первом банке, а через b – во втором банке. К концу первого года сумму вклада в I банке стала равной , во II банке , а к концу второго года и . По условию задачи сумма вкладов в конце первого года составляет 670 у.е., а к концу второго года – 749 у.е., поэтому можно составить два уравнения:
Если во второй банк положить у.е., а в первый – у.е, то сумма вкладов к концу года составила бы:
что равнялось бы 710 у.е. Поэтому получим третье уравнение:
Для нахождения известного х составим систему уравнений из (1) и (3) и решим её:
Подставляя вместо и вместо в уравнение (2), приходим к уравнению , имеющему один корень: x=660, но тогда:
Если исходное количество денег положить на два года, то к концу второго года величина вклада составит 726 у.е.
Рабочий положил на хранение в сберегательный банк 5000 руб. По истечении одного года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в то же время он увеличил свой вклад ещё на 5000 руб., а по истечении ещё одного года попросил выдать ему накопленные процентные деньги. Сколько процентов в год начисляет сбербанк, если рабочий получил 1232 руб. процентных денег, оставив вклад в 10 000 руб. на новый срок?
Пусть x% в год начисляет сбербанк, а y% - процент за 2 года. x+x+y - весь начисленный процент. По условию задачи 2x+y=1232 (руб.)
За I и II начисленный процент равен 50000,01x=50x, а процент за оба года равен 0,01x(5000+50x).
Решив это уравнение 50x+50x+0,01x(5000+50x)=1232
100x+50x+0,5x 2 -1232=0
0,5x 2 +150x-1232=0
D=b 2 -4ac=150 2 -40,5(-1232)=24964, D>0, два корня.
Найдём два значения для х: х 1 =-308 – не удовлетворяет условию задачи, х 2 =8. Значит, сбербанк начисляет в год 8%.
Задачи «на смеси и сплавы»
Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчёты.
Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m . Тогда:
концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина ;
процентным содержанием данного вещества называется величина с ×100%;
Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c × M .
Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:
Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m 1 и m 2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с 1 и с 2 . Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c 1 m 1 +c 2 m 2 , а концентрация .
Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.
При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.
Из сосуда ёмкостью 54 литра, наполненного кислотой, вылили несколько литров и доли сосуд водой. Потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 литра чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?
Пусть x литров кислоты вылили в первый раз. Тогда в сосуде осталось (54-x) литров. Долив сосуд водой, получим 54 литра смеси, в которой растворилось (54-х) литров кислоты. Значит в одном литре смеси содержится литров кислоты. Всего за два раза вылили 54-24=30 литров кислоты. В результате получили уравнение:
Решив это уравнение, найдём два корня: х=90 и х=18. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: в первый раз было вылито 18 литров воды.
При решении задач на смеси считается, что рассматриваемые смеси однородны: не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости. Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).
В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?
Пусть х г – масса 50%-й кислоты, y г – масса 70%-й кислоты, 0,5х г – масса чистой кислоты в первом растворе, (x+y)г – масса смеси, 0,65(x+y)г - масса чистой кислоты в смеси. Составим уравнение (рис. 6а):
Получаем соотношение 1:3.
Существует и другой способ решения этой задачи. Он называется арифметическим (или старинным) способом.
Обоснуем старинный способ решения задач «на смеси».
Пусть требуется смешать растворы а%-й и b%-й кислот, чтобы получить
Пусть х г – масса а%-го раствора, y г – масса b%-го раствора, г – масса чистой кислоты в первом растворе, а г – масса чистой кислоты во втором растворе, г – масса чистой кислоты в смеси.
при упрощении которого станет ясно, что x:y=(b-c):(c-a). Такой же вывод даёт схема:
Имеется два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.
Пусть х кг – количество олова в новом сплаве. Так как новый сплав весит 400 кг и в нём находится 30 % цинка, то он содержит кг, а во втором сплаве (120-y) кг цинка. По условию задачи процентное содержание цинка в двух сплавах равно, следовательно, можно составить уравнение:
Из этого уравнения находим, что у=45. Поскольку первый сплав содержит 40% олова, то в 150 кг первого сплава олова будет кг, а во втором сплаве олова будет (х-60) кг. Поскольку второй сплав содержит 26% меди, то во втором сплаве меди будет кг. Во втором сплаве олова содержится (х-60) кг, цинка 120-45=75 (кг), меди 65 кг и, так как весь сплав весит 250 кг, то имеем:
В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа осталось ещё в руде?
Сначала составим таблицу, в которой напишем массу руды, массу железа, концентрацию (долю железа в рудеапишем массу руды, массу железа, концентрацию () руде?
нем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20) до и после удаления примесей.
Читайте также: