В классе 10 мальчиков и 15 девочек учитель случайным образом выбирает отвечающего у доски

Обновлено: 07.07.2024

Материалы к ГИА по теме «Комбинаторика, вероятность и статистика»

На ГИА по математике проверяются умения решать комбинаторные задачи, используя перебор всех возможных вариантов или правило умножения.

Это нужно знать!

Комбинаторика – это раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.

Извлечённые из исходного множества m элементов составляют выборку; из элементов выборки в соответствии с заданными правилами строится (или составляется) комбинация элементов.

Правило умножения. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то m действий. Если первое действие можно выполнить n ₁ способами, второе действие – n ₂ способами, третье – n ₃ способами и так до m -го действия, которое можно выполнить n_m способами, то все m действий вместе могут быть выполнены n ₁ × n ₂ × n ₃ × … n_m способами.

Пример. Четыре мальчика и четыре девочки садятся на 8 расположенных подряд стульев, причём мальчики садятся на места с чётными номерами, а девочки – на места с нечётными номерами. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Первый мальчик может сесть на любое из четырёх чётных мест, второй – на любое из оставшихся трёх мест, третий – на любое из оставшихся двух мест. Последнему мальчику предоставляется всего одна возможность. Согласно правилу умножения, мальчики могут занять 4 места 4 × 3 × 2 × 1=24 способами. Столько же возможностей имеют и девочки. Таким образом, согласно правилу умножения, мальчики и девочки могут занять все стулья 24 × 24=576 способами.

Ответ: 576 способами .

Решение примерных задач из работ ГИА.

1)Выписаны в порядке возрастания все трёхзначные числа, в записи которых используются только цифры 0, 2, 4, 6. Какое число следует за числом 426?

Решение: В условии задачи не сказано, что числа не повторяются, значит можно составлять числа с повторениями. Число единиц увеличить нельзя, там стоит цифра 6. Число десятков увеличить можно: цифру 2 заменить 4. После этого в разряд единиц можно поставит наименьшее число 0.

2)В коробке лежат четыре шара: белый, красный, синий, зелёный. Из неё вынимают два шара. Сколько существует способов сделать это?

Решение: Выпишем всевозможные пары шаров: бк, бс, бз, кс, кз, сз.

3) Из класса, в котором учится 15 девочек и 10 мальчиков, нужно выбрать одну девочку и одного мальчика для ведения вечера. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: По правилу умножения. Девочку можно выбрать 15 способами, мальчика – 10, а пару девочка-мальчик: 15*10= 150.

4) В чемпионате по футболу играет 10 команд. Сколькими способами могут распределиться три призовых места?

Решение: На первое место претендует 10 команд, на второе будет уже претендовать 9 команд, а на третье-8. По правилу умножения всего способов будет 10*9*8=720.

5)В конференции участвовало 30 человек. Каждый участник с каждым обменялся визитной карточкой. Сколько всего понадобилось карточек?

Решение: Каждый участник раздал 29 карточек. Значит, понадобилось 30*29=870 карточек.

6) 5 человек обменялись рукопожатиями. Сколько рукопожатий было?

Решение: Каждый человек пожал руки 4 раза, но рукопожатие Иванова-Сидорова одинаково, что Сидорова-Иванова. Значит, количество рукопожатий будет 5*4:2=10.

7) Сколько нечётных трёхзначных чисел можно составить помощью цифр 3, 4, 5, 6? (Цифры могут повторяться)

Решение: На первое место можно поставить любую из четырёх цифр, на второе - тоже любую, на третье с учётом условия, что число нечётное, можно поставить две цифры. По правилу умножения количество чисел будет равно 4*4*2=32.

Для самостоятельного решения.

1)Выписаны в порядке возрастания все трёхзначные числа, в записи которых используются только цифры 1,3,5,7. Какое число следует за числом 537?

2) В коробке лежат четыре шара: два белых, красный, зелёный. Из неё вынимают два шара. Сколько существует различных вариантов вынуть два шара разного цвета?

3)В классе 13 девочек и 10 мальчиков. Сколькими различными способами можно назначить двух дежурных: мальчик+девочка?

4)Сколькими способами можно рассадить четырёх детей на четырёх стульях в детском саду?

5)Шестеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно?

6)Сколько трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 0,3,6,9?

7)В меню школьной столовой 2 разных супа, 4 вторых блюда и 3 вида сока. Сколько можно составить вариантов обеда из трёх блюд?

8) . Девятиклассники Миша, Дима, Антон и Саша побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу четверо девятиклассников могут занять очередь для игры в настольный теннис?

Ответы. 1) 551; 2) 3; 3)130); 4) 24; 5) 15; 6) 48; 7)24.

2 раздел. Вероятность.

-вычислять вероятность события в классической модели;

-находить относительную частоту и вероятность случайного события, используя готовые статистические данные.

Это нужно знать!

Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления.

Вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.

Свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна 1: . 2.Вероятность невозможного события равна 0:

Пример. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала её наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Решение: На последнем месте в номере телефона может стоять одна из 10 цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; n =10; все предыдущие цифры никакого значения не имеют. Из n =10 только одна цифра верная, поэтому m =1. вероятность события А, состоящего в том, что, набрав последнюю цифру номера наугад, Таня попала к своей знакомой, равна = .

Пример. Вероятность попадания некоторым стрелком по бегущей мишени равна 0,8. какова вероятность того, что этот стрелок промахнётся , сделав выстрел?

Решение: Пусть событие А – попадание по мишени, тогда Р(А)=0,8. Событие - промах. = 1-Р(А)=1-0,8=0,2.Ответ: 0,2.

Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведённых испытаний N , при этом число М называют абсолютной частотой или частотой события А.

Относительную частоту события А обозначают , поэтому по определению: .

Решение: Событие А – попадание по цели произошло в 26 случаях, т.е. М=26. Общее число испытаний N =30, поэтому = .Ответ: .

Решение примерных задач из ГИА.

1)Доля брака при производстве процессоров составляет 0,05%. С какой вероятностью процессор только что купленного компьютера окажется исправным?

Решение: Процент исправных процессоров будет равен

100%-0,05%=99,95% Искомая вероятность равна 99,95/100=0.9995

2)Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?

Решение: Всего исходов (букв) – 7. Значит n =7. Благоприятных исходов(согласных букв) – 4. M =4. Поэтому вероятность равна 4/7.

3)Из класса, в котором учится 15 мальчиков и 10 девочек, выбирают по жребию дежурного. Какова вероятность того, что это будет девочка?

Решение: Всего исходов (детей в классе) n = 15+10=25. Благоприятных исходов (девочек) m = 10. Р =10/25=2/5. Ответ. 2/5.

4) Одновременно бросают 2 монеты. С какой вероятностью на них выпадут два орла?

Решение: Возможны исходы: ОО, ОР, РР, РО. n =4. Благоприятных исходов m =1. Вероятность равна ¼.

5) Для украшения ёлки принесли коробку, в которой находится 10 красных, 7 зелёных, 5 синих и 8 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется: а) красным; б) золотым?

6) За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней?

Решение: Лето длится три месяца. Всего 92 дня. Солнечных дней 67. . Пасмурных дней 92-67=25,

Для самостоятельного решения.

1)Доля брака при производстве блоков питания составляет 0,25%. С какой вероятностью блок питания только что купленного компьютера окажется исправным?

2) Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?

3)В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию. Какова вероятность, что в цирк пойдёт мальчик?

4) Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальный всход. Найдите частоту нормального всхода семян.

5)В ящике 2 красных и 2 синих шара. Из него, не глядя, вынимают два шара. Какова вероятность, что они будут разного цвета?

Ответы. 1) 0,9975; 2)3/7; 3)2/3; 4)0,98; 5)2/3.

3 раздел. Статистика .

- определять статистические характеристики, как среднее арифметическое, медиана, мода, выполняя при этом необходимые подсчёты;

- отвечать на простейшие вопросы статистического характера.

Это нужно знать!

Статистика - это наука, изучающая количественные показатели развития общества и общественного производства

Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.

Пример: (23+18+25+20+25+25+32+37+34+26+34+25):12=

27-среднее арифметическое значение.

Размах - разность между наибольшим и наименьшим числом.

Пример. 23;18;25;20;25;25;32;37;34;26;25

Размах : 37-18=19

Модой ряда чисел называется число, наиболее встречающееся в данном ряду.

23;18;25;20;25;25;32;37;34;26;25- модой данного ряда является число 25.

69,68,66,70,67,71,74,63,73,72- в данном ряду моды нет.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине.

Пример. 64,72,72,75,78,82,85,91,93. Медианой является число-78.

Медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

64,72,72,75,78,82,85,88,91,93. Медиана (78+82):2=80 .

Решение примерных задач из ГИА.

1)Из трёх кандидатов в сборную России по стрельбе из арбалета нужно отобрать двоих. Решено сделать этот отбор по относительной частоте попадания в мишень, которую они показали на тренировочных сборах. Результаты представлены в таблице.

Решение задач по теории вероятности

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 8 спортсменов из Аргентины, 6 спортсменов из Бразилии, 5 спортсменов из Парагвая и 6 – из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины.

Заметим, что вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины, такая же, как вероятность, что он будет выступать первым, вторым, третьим и т.п.
Всего претендентов на последнее место: \(8+6+5+6=25\) спортсменов. Нам удовлетворяют лишь 8 из Аргентины. Следовательно, вероятность равна отношению количества удовлетворяющих исходов к количеству всех: \[\dfrac=0,32.\]

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В случайном эксперименте бросают две правильные игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых.

Так как вероятности выпадения любой пары очков в эксперименте одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества исходов, в которых в сумме получается 3 очка, к количеству всевозможных исходов. Набрать 3 очка можно только двумя способами: \((2; 1)\) и \((1; 2)\) .

Количество всевозможных исходов эксперимента равно количеству всевозможных различных пар \((a; b)\) , где \(a\) и \(b\) принимают значения 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Количество всевозможных исходов эксперимента равно 36.
Вероятность суммарного выпадения 3 очков равна \[\dfrac = 0,0(5).\] После округления окончательный ответ становится \(0,06\) .

Замечание: пары \((a; b)\) и \((b; a)\) при \(a\neq b\) – разные. В самом деле, в условии задачи ничего не изменилось бы, если бы было сказано, что первая кость – красная, а вторая – синяя. Но в таком случае разница была бы очевидна.

Расчет вероятностей исходов

Если при проведении некоторого эксперимента возможны \(N\) равновероятных элементарных событий, то вероятность события \(A\) : \[\Large\] где \(m\) – количество “подходящих” элементарных событий.

На рисунке схематично изображено множество всех возможных равновероятных (одинаковые по размеру круги) исходов у некоторого эксперимента, которые не пересекаются:

Таким образом, под такой вероятностью можно понимать часть, которую составляют “подходящие” исходы от всех возможных исходов.

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В классе 10 мальчиков и 15 девочек. Учитель случайным образом выбирает отвечающего у доски. Какова вероятность того, что у доски будет отвечать девочка?

Так как вероятности выбора любого школьника одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества девочек к общему количеству человек в классе. Вероятность выбора девочки равна \[\dfrac = 0,6.\]

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 55 докладов - они распределены поровну между всеми днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

На каждый день конференции запланировано \(55:5=11\) докладов. Таким образом, всего имеется 55 вариантов, когда может прозвучать доклад профессора М., из которых нам подходят лишь 11, следовательно, вероятность равна \[\dfrac=\dfrac15=0,2\]

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В кинопрокате показывают 3 боевика и 7 мелодрам. Максим выбирает, на какой сеанс пойти, случайным образом. Какова вероятность того, что он пойдет на мелодраму?

Так как вероятности выбора любого фильма одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества мелодрам к общему количеству фильмов в прокате. Вероятность выбора мелодрамы равна \[\dfrac = 0,7.\]

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В конференции участвуют 12 французов, 11 россиян, 45 американцев и 32 англичанина. Порядок прочтения докладов определяется жребием. Какова вероятность того, что заключительный доклад будет читаться россиянином?

Так как вероятности выбора любого доклада одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества россиян на конференции к общему количеству участников конференции. Вероятность того, что заключительный доклад будет читаться россиянином равна \[\dfrac = 0,11.\]

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В коробке 4 красных, 2 синих и 4 зеленых шара. Азат наугад достает один шар. Какова вероятность того, что этот шар красный?

Так как вероятности выбора любого шара одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества красных шаров к общему количеству шаров в коробке. Вероятность того, что вытащенный шар будет красный равна \[\dfrac = 0,4.\]

Мои задачи Добавить папку Мои задачи

Задачи на вероятность исхода — обязательная часть ЕГЭ по математике. Как показывает практика, они ежегодно включаются как в базовый, так и в профильный уровень аттестационного испытания. Это означает, что уметь справляться с заданиями ЕГЭ на расчет вероятностей исхода должны все учащиеся.

Если задачи по данной теме вызывают у вас сложности, рекомендуем обратиться к образовательному порталу «Школково». С нами учащиеся с любым уровнем подготовки смогут восполнить пробелы в знаниях.

В соответствующем разделе представлены задачи на вероятность исхода подобные тем, которые встречаются в ЕГЭ. Поняв, как они решаются, и научившись справляться с ними, выпускники смогут получить достойные баллы по итогам прохождения аттестационного испытания.

Основные моменты

Для того чтобы подобные задачи давались вам легко, рекомендуем вспомнить базовые определения. Основными терминами, отражающими понятие вероятности, являются исход, испытание и случайное событие. Испытание представляет собой определенное действие. Это может быть подбрасывание монеты, вытягивание карты, жеребьевка и т. п. Соответственно, результат испытания называется исходом.

Что представляет собой случайное событие? Это множество исходов одного испытания. К примеру, при подбрасывании монеты может выпасть орел или решка. Следовательно, возможно сразу два случайных события. При решении задач по теории вероятности важно также вспомнить основную формулу: Вероятность события А есть отношение количества благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов данного события.

В классе 15 мальчиков и 25 девочек. Нужно выбрать двух человек. Какова вероятность того, что наугад выбраны 2 мальчика?

Хотя бы каким методом решать. Задача простая, но не помню как вероятность составить. Вроде (15/40)*(14/49)
но что-то я сомневаюсь, забыл как их решать. кстати не самая сложная задача, но вот не могу подобрать для нее метод, забыл.

Дополнен 10 лет назад

опечатался:
не (15/40)*(14/49), а (15/40)*(14/39)

>P(A)=(15/40)+(14/39)
Спасибо, но "+" это когда "или", а здесь вроде "и" поэтому знак умножения"*". но я не уверен

В классе учатся 15 девочек и 10 мальчиков. Двух учеников вызвали к доске. Какова вероятность того что у доски окажутся

В классе 15 + 10 = 25 учащихся.
Вероятность того, что первой вызовут девочку: p1 = 15/25;
Условная вероятность того, что второй будет девочка при выполнении условия, что первая - девочка:
p2 = 14/24;
Вероятность того, что вызовут двух девочек:
P = p1 · p2 = 15/25 · 14/24 = 0,35.
Ответ: Вероятность того, что вызовут двух девочек 0,35.

В классе 10 мальчиков и 15 девочек учитель случайным образом выбирает отвечающего у доски

Задания

В классе 9 учащихся, среди них два друга — Михаил и Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Андрей окажутся в одной группе.

В классе 9 учащихся. Три равные группы — это группы по 3 человека. Пусть Михаил находится в одной из трех групп. Тогда для Андрея в группе Михаила остается 2 места из 8 возможных. Таким образом, вероятность того, что Михаил и Андрей окажутся в одной группе:

Классификатор базовой части: 6.3.1 Вероятности событий, 6.3.2 Использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

В классе 9 мальчиков и 16 девочек. Среди учащихся класса случайным образом выбирают двоих дежурных. Найдите вероятность

2) Определим вероятность того, что будут дежурить 2 девочки.

Вероятность будет равна произведению вероятностей того, что первой дежурить будет девочка и второй дежурить будет девочка, то есть получается:

P = 16 / 25 * 15 / 24 = 12 / 30 = 0,4.

Для начала нужно выбрать девочку из 25 человек, а затем поскольку одна девочка выбрана, вторую девочку выбирают из 24 человек, а девочек уже остаётся 15 человек.

Решаем задание 5 (B6) профильного уровня ЕГЭ по математике. Урок №15. Задача о дежурствах.

Условие задачи: В классе 9 мальчиков и 16 девочек. Среди учащихся класса случайным образом выбирают двоих дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить будут две девочки. Найдите вероятность того, что дежурить будут мальчик и девочка.

Валерий Волков 2 15.07.2014

Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями!

Выбор видеоурока ЕГЭ по математике ГИА по математике Математика. 5 класс. Математика. 6 класс. Математика. 7 класс. Математика. 8 класс. Математика. 9 класс. Математика. 10 - 11 класс. Создаёте видеоуроки?

Если Вы создаёте авторские видеоуроки для школьников и учителей и готовы опубликовать их, то просим Вас связаться с администратором портала.

© 2007 - 2021 Сообщество учителей-предметников "Учительский портал"
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель: Никитенко Евгений Игоревич

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте (презентации, конспекты, статьи и пр.), пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.

Администрация сайта готова оказать поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены

Решаем задание 5 (B6) профильного уровня ЕГЭ по математике. Урок №4. Задача о дежурстве в школе.

Условие задачи: В классе 12 мальчиков и 13 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября, которые должны приготовить класс к занятиям. Найдите вероятность того, что будут дежурить мальчик и девочка.

Валерий Волков 51 13.07.2014

Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями!

Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены

Читайте также: