Как можно объяснить математическое понятие паркета второкласснику
Обновлено: 15.05.2024
Паркеты – замощение плоскости многоугольника
Помыслить немыслимое и утвердиться в том, что оно все-таки мыслимо – это явление геометрии.
Цели:
- Формирование и развитие представлений учащихся о новых математических объектах и математических понятиях.
- Развитие творческого интереса к математике.
- Расширение математического кругозора учащихся.
- Воспитание доброжелательности и взаимопомощи при совместной работе.
- Практическое применение математических знаний при изучении новых математических объектов.
- Развитие логического мышления и навыков исследовательской деятельности.
- Знакомство с применением новых полученных знаний в современной науке.
- Постановка вопросов для дальнейшего изучения темы.
Подготовка: работа в группах, каждая группа готовит модели правильных многоугольников, а также копии произвольных треугольников и четырехугольников.
Формы организации работы учащихся: фронтальная, групповая.
Формы организации работы учителя: руководящая, организационная, координирующая.
Технические условия: мультимедийный кабинет.
Используемое оборудование: компьютер, проектор, экран, CD-носитель.
Презентация «Паркеты – замощение плоскости многоугольниками».
Ход занятия.
Паркеты с древних времён привлекают к себе внимание людей. Ими застилали полы, покрывали стены комнат, украшали фасады зданий, использовали в декоративно-прикладном искусстве.
Хотя изучение паркетов не входит в школьную программу по математике, интерес к этой теме возник после решения простой школьной задачи: «Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости». А какими еще многоугольниками можно замостить плоскость?
Правильные паркеты
Паркетом называется такое замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой этими многоугольниками и любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.
Паркет называется правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников.
Примеры правильных паркетов были известны ещё пифагорейцам. Они дают заполнение плоскости: квадратами, равносторонними треугольниками, правильными шестиугольниками.
Задание для учащихся: из имеющихся моделей правильных многоугольников составьте правильные паркеты.
Убедимся в том, что никакой другой правильный многоугольник паркета не образует. И здесь нам понадобится формула суммы углов многоугольника. Если паркет составлен из n-угольников, то в каждой вершине паркета будет сходитьсяk = 360°/ anмногоугольников, где an – угол правильного n-угольника. Легко найти, что a3 = 60°, a4 = 90°, a5 = 108°,a6 = 120° и 120° < an < 180° при п > 7. Поэтому 360° делится нацело на an только при п = 3; 4; 6.
Интересно, что среди правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, данного периметра, наибольшую площадь имеет шестиугольник. Это обстоятельство приводит в природе к тому, что форму правильных шестиугольников имеют пчелиные соты, поскольку пчёлы, строя соты, инстинктивно стараются сделать их возможно более вместительными, израсходовав при этом возможно меньше воска.
Полуправильные паркеты.
Расширим способы составления паркетов из правильных многоугольников, разрешив использовать в них правильные многоугольники с различным числом сторон, но так, чтобы вокруг каждой вершины правильные многоугольники располагались в одном и том же порядке. Такие паркеты называются полуправильными.
Задание для учащихся: из имеющихся моделей правильных многоугольников составьте полуправильные паркеты.
Для выяснения количества полуправильных паркетов нужно проанализировать возможные случаи расположения правильных многоугольников вокруг общей вершины. Для этого обозначим через a1,a2 … – углы правильных многоугольников, имеющих общую вершину. Расположим их в порядке возрастания a1 < a2 < … Учитывая, что сумма всех таких углов должна быть равна 360°, составим таблицу, содержащую возможные наборы углов и укажем соответствующие паркеты.
Таким образом, всего имеется 11 правильных и полуправильных паркетов.
Планигоны
Рассмотрим и другое обобщение — паркеты из копий произвольного многоугольника, правильные «по граням» (т. е. которые переводят любую заданную плитку в любую другую). Многоугольники, которые могут быть плитками в этих паркетах, называются планигонами.
Ясно, что плоскость можно уложить копиями произвольного треугольника, но менее очевидно, что произвольный четырёхугольник — планигон. То же верно и для любого шестиугольника, противоположные стороны которого равны и параллельны.
Задание для учащихся: из имеющихся копий произвольных треугольников и четырехугольников составьте паркеты.
Все рассмотренные выше паркеты периодичны, т. е. в каждом из них можно выделить (и даже многими способами) составленную из нескольких плиток область, из которой параллельными сдвигами получается весь паркет.
Интерес учёных к таким конструкциям объясняется тем, что периодические замощения, особенно замощения пространства, моделируют кристаллические структуры.
Вопрос на перспективу: Существуют ли непериодические замощения?
Вместо заключения
Особый интерес представляет создание собственных паркетов – заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета) с помощью, например, осевой симметрии и параллельного переноса. Главное, что в основе построения лежит многоугольник, равновеликий элементу паркета.
Домашнее задание. Составить понравившийся паркет с помощью любых средств: от цветной бумаги до компьютерных технологий.
Список используемой литературы:
1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 7-9.– М.: Просвещение, 2010.
2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1996.
3. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1997.
4. Колмогоров А.Н. Паркеты из правильных многоугольников.//Квант, 1970, № 3.
5. Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии //Математика: Еженедельное учебно-методическое прил. к газ. «Первое сент.». – 2003, № 21.
6. Совертков П.И. и др. Геометрический паркет на экране компьютера.//Информатика и образование, 2000, № 9.
7. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика/ Глав.ред. М.Д.Аксенова. – М.: Аванта+, 2008.
Введите список-массив из n целых чисел: вначале с экрана вводится число n,
затем, в цикле while, вводятся сами элементы массива, каждое число в
отдельной строке. Выведите полученный массив на экран.
Далее запрашиваются 2 различных целых числа c1 и c2.
Постройте НОВЫЙ массив из тех элементов исходного массива, которые
расположены на отрезке [c1, c2], в том порядке, как они идут в исходном
массиве. Выведите НОВЫЙ массив. Также выведите количество его элементов.
. Никаких методов Питона для работы с массивами, кроме append и len,
. использовать нельзя.
'''
Исследовательская работа по математике " Геометрические паркеты"
Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. Паркеты являются своеобразными орнаментами. Над созданием паркетов – орнаментов трудились многие поколения мастеров, подчас создавая истинные шедевры красоты.
Тема «Паркеты» актуальна и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, украшают стены комнат и зданий Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни один дизайнер не обойдется, ни один человек, который собирается сделать ремонт.
С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.
В моей работе я буду рассматривать геометрические паркеты из многоугольников.
Цель и задачи проектной работы.
1.Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы по теме.
2.Изучить геометрические приёмы составления паркетов.
3. Научиться строить паркеты с помощью графического редактора « Paint », входящего в стандартный пакет Microsoft Office .
4.Развитие умений и навыков исследовательской работы.
Выдвинута проблема. Какими правильными многоугольниками можно замостить плоскость?
Объект исследования - паркеты.
Методы исследования: анализ литературы; систематизация материала; метод аналогии.
При работе над проектом я пользовалась материалом из книг, журналов, использовала Интернет - ресурсы.
1. Историческая справка.
Слово "паркет" имеет благородное французское происхождение. Однако в средние века во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя - предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры постепенно исчезли, паркетные полы стали частью интерьера, так же искусно выполненной, как настенные гобелены.
Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В России паркетные полы были нововведением Петра I., который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличивался, и наряду с местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем — стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев. В зависимости от употребляемых материалов паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полуцветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые.
Сейчас, в начале ХХI века, несмотря на развитие науки и техники, можно сомневаться - все ли технологические тайны старых мастеров-паркетчиков удалось восстановить. Можно сказать, что благодаря буквально нескольким мастерам - реставраторам искусство художественного паркета в нашей стране сохранилось до наших дней.
Паркет в Итальянском зале Паркет начала 18 века
Правда, технология со временем изменяется, детали орнамента и рисунка сегодня вырезаются уже не вручную, а на станках и с применением лазера и компьютера, появилось много машин, облегчающих труд.
2. Геометрические п аркеты.
П аркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек.
2.1. Паркеты из правильных одноименных многоугольников.
1.Из каких правильных одноименных многоугольников можно составить паркет?
Предположение: правильные паркеты получатся из квадратов, шестиугольников и треугольников.
В природе и в жизни человека паркеты встречаются часто. Например: шахматная доска и пчелиные соты. Все эти предметы состоят из многоугольников с равными углами и равными сторонами. Пример шахматной доски меня убеждает, что из правильных: четырехугольников тоже можно составить правильный паркет.
На примере пчелиных сот убеждаемся, что паркет можно составить и из правильных шестиугольников. Пчелы бессознательно решают математическую задачу – они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объёме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу. Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт.
В свою очередь, правильные шестиугольники состоят из правильных треугольников, поэтому паркеты из правильных треугольников тоже существуют
Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет?
Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?
Геометрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «налезут» друг на друга).
Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов:
Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360 º
Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n -угольников, то должно выполняться равенство:
m *180º*( n -2)/ n =360º. (величина угла правильного n -угольника равна 180º*( n -2)/ n )
После преобразований получим:
Если n =3, m =6 (6 треугольников в узле).
Если n =4, m =4 (4 четырёхугольника в узле).
Если n =5, m =3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.
Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.
Если n =6, m =3 (шестиугольника)
Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя!
Вывод: Наше предположение оказалось верным.
Мы убедились в том, что паркет можно построить из:
правильных треугольников;
правильных шестиугольников;
правильных четырехугольников.
На основе этих 3 правильных многоугольников можно составить различные правильные паркеты.
Математический паркет
Паркет — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий . Паркеты иначе называются замощениями, мозаиками , разбиениями плоскости , паркетажами. Замощения трёхмерного пространства и пространств высших размерностей часто называют сотами.
Покрытие и упаковка Упаковка — это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных. Замощение — это разбиение фигуры на части. Замощение является одновременно покрытием и упаковкой. Протоплитки паркета (так же прототипы) — это плитки (формы ), входящие в паркет. Каждая плитка паркета конгруэнтна одной из протоплиток . Ромботришестиугольный паркет состоит из плиток трёх типов: равносторонний треугольник, квадрат и гексагон. Эти плитки располагаются вокруг каждой из вершин в следующем порядке: треугольник, квадрат, шестиугольник, квадрат- конфигурация вершин. Конфигурацией грани называется последовательность степеней вершин этой грани при обходе её в одном направлении.
Виды паркетов Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников, называют правильными паркетами . . Существует три правильных замощения плоскости: треугольный паркет, квадратный паркет и шестиугольный паркет Паркеты , состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии, переводящее одну из них в другую, называются полуправильными паркетами или архимедовыми паркетами .
Квазиправильный паркет (или многогранник) — однородный паркет (или многогранник), состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой вершины; иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа . Сферический паркет или сферический многогранник — разбиение сферы на сферические многоугольники дугами больших кругов.
Математический паркет
Морис Корнелис Эшер 1898—1972 Нидерландский художник-график. Известен прежде всего литографиями, гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов.
Родился в Голландии в городе Леувардене
В доме, где родился Эшер , сейчас находится музей
Всемирная известность 1951 года Печатался в трёх популярных журналах того времени:
Ящерицы, изображенные голландским художником М. Эшером , образуют, как говорят математики, « п а р к е т». Каждая ящерица плотно прилегает к своим соседям без малейших зазоров, как плашки паркетного пола.
ПИФАГОРЕЙСКАЯ ШКОЛА Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад.
Математический паркет Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек. Паркет называется правильным , если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.(360 0 )
Правильные паркеты Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/ n . В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/ n . Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.
Паркет из правильных многоугольников Существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) - два варианта паркета; (3,4,4,6) - четыре варианта; (3,3,3,4,4) - четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках - обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 - правильный треугольник, 4 - квадрат, 6 - правильный шестиугольник, 12 - правильный двенадцатиугольник ). Некоторые варианты паркета : (4,8,8) (3,3,6,6) (4,6,12) (3,4,4,6)
Паркеты из неправильных многоугольников Легко покрыть плоскость параллелограммами. Можно замостить плоскость копиями Произвольного четырехугольника, необязательно выпуклого. Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма Плоскость можно покрыть копиями центрально-симметричного шестиугольника, или копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами. До сих пор не найдены все типы выпуклых пятиугольников, из которых складываются паркеты. Доказана теорема, утверждающая: «Нельзя сложить паркет из копий выпуклого семиугольника». Существуют паркеты из невыпуклых семиугольников.
Паркеты из одинаковых и правильных многоугольников Формула угла правильного n- угольника
Вывод : При создании паркета должно соблюдаться обязательное условие , плоскость, которую мы замощаем должна быть без просветов и двойных покрытий. Когда создаёшь паркет, нужно быть очень внимательным и не торопиться, стоит одну ячейку сдвинуть, испортим весь паркет.
Задача 1 . Покажите, как можно составить паркет из равных между собой копий: а) произвольного треугольника, б) произвольного (не обязательно выпуклого) четырехугольника, в) пятиугольника с двумя параллельными сторонами, г) центрально-симметричного (не обязательно выпуклого) шестиугольника.
Решение : а ) Из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, а параллелограммами уже легко покрыть плоскость. б) Если задан произвольный четырехугольник, то, повернув его на угол Пи( 180 0 ) вокруг середины одной из его сторон, получаем центрально-симметричный шестиугольник, составленный из двух копий заданного четырехугольника. Такими шестиугольниками можно покрыть плоскость (рис. 4 ). в) Приставляя друг к другу два экземпляра пятиугольника с двумя параллельными сторонами, снова получаем центрально-симметричный шестиугольник, копиями которого можно покрыть плоскость (рис. 5 ). Рис.4 Рис.5
Урок "Паркеты"
методическая разработка по математике (6 класс)
Среди огромного разнообразия орнаментов выделяются "паркеты" (мозаики). Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда паркетом называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками). Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Элементом паркета является также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, даже произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов.
Придуманы паркеты, у которых несколько элементов образуют фигуру, подобную элементу паркета.
Замечательные паркеты придумывал знаменитый голландский художник Морис Эшер. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий.
Из всех работ Эшера лучше всего известные его орнаменты (или мозаика), то есть периодическое заполнение плоскости одинаковыми фигурами.
Морис Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными ( нерегулярные мозаики образуют неповторяющиеся узоры ) - а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.
Сегодня, вы не ученики 6 класса, а творческая мастерская дизайнеров. И перед нами ставится задача создать оригинальный паркет, значит будем использовать ТРИЗ - технологии. Вспомним, что это такое. Приложение 1
- Постановка задачи
- Поиск подобной задачи в базе стандартных задач
- Разбиение поставленной задачи на стандартные
- Решение данной задачи посредством решения стандартных задач, на которые она разбита
- Внесение решенной задачи в базу стандартных задач
- Итак, задача поставлена. Встречалась ли нам до этого момента такая задача, можем ли мы ее назвать стандартной?
- Значит, приступаем ко второму этапу: разбиваем задачу на стандартные задачи и ищем их решение в банке стандартных задач.
- Нужно выбрать элемент паркета и создать его.
Посмотрим, как это делается. Приложение 2
Попробуем разобраться, как Эшер создавал свои орнаменты, на примере паркета с ящерицами. За основу берется фигура, из которой можно составить паркет – правильный шестиугольник. Если «кусочек» плоскости вырезается из внутренней области этого шестиугольника, то такой же надо добавить снаружи.
Мы уже научились производить построения на клетчатой бумаге еще в 5 классе.
2. Заполнить этим элементом всю плоскость.
Как же это сделать? Есть ли такая задача в банке стандартных задач? Вспомним то, что мы изучали о координатной плоскости.
На рисунке показан паркет, т. е. заполнение всей плоскости одинаковыми (равными) фигурами. Как вы думаете, каким образом была заполнена часть плоскости? Что мы можем сделать с данным элементом? Зафиксируем точку с координатой (4;5) и подумаем, в какие точки она может перейти. Напишите координаты точек, в которые может перейти данная точка.
Как вы думаете, есть ли какая-нибудь закономерность в изменении абсциссы точки? А ординаты? Давайте запишем это.
Проверим, выполняется ли данное условие для других точек фигуры. Зафиксируем точку B(3;1) и определим координаты точек, в которые она перейдет.
А как вы думаете, сохраняется ли при данном преобразовании расстояние между точками? Проверим.
А что называется расстоянием между точками? Найдем расстояние между точками А и В, А 1 и В 1, А 2 и В 2
Так вот, ребята, преобразование, при котором некоторая точка отображается в другую точку, находящуюся на некотором расстоянии и при этом сохраняется расстояние между точками, называется параллельным переносом.
Параллельным переносом мы будем в дальнейшем пользоваться при построении различных графиков функций в старших классах.
Мы заполнили целую полосу. А что же дальше?
Переходим к следующему этапу: вносим эту задачу, решенную с использованием координатного метода, в базу стандартных задач.
А сейчас, мы, вооруженные новыми знаниями, приступим к работе.
Работа в группах. Заполните плоскость фигурами и запишите, используя лист результатов Приложение 4 , в какие точки при параллельном переносе переходят вершины фигур.
Фигура 1 Фигура 2 Фигура 3
Как же заполнить плоскость без промежутков данными фигурами? Можно, конечно, попробовать разные способы, но тогда потребуется очень много времени. Попробуем систематизировать и рационализировать нашу работу.
При создании элемента паркета мы пользовались определенным свойством. Попробуем использовать его и сейчас. Найдем на элементе выступающую часть и такую же по размеру и форме часть «вырезанную» из внутренней области. Попробуем «приложить» фигуры. Не осталось ли незаполненных областей? Если нет, то продолжаем заполнение полосы. Заполнив полосу, можем параллельно перенести каждую точку этой полосы. Таким образом, мы заполним всю плоскость.
III. Подведение итогов.
Дидактическая задача этапа
Содержание деятельности учителя
Условия получения положительного результата
Подведение итогов урока . Анализ успешности овладения знаниями и способами деятельности; показать типичные недостатки в знаниях, умениях, навыках
Дать общую характеристику класса, показать успешность овладения содержанием урока; вскрыть недостатки, показать пути их преодоления
Умение быстро схватывать типичное в успешности усвоения и недостатков, умение учесть реальные учебные возможности
Все знания, полученные на нашем уроке, вам будут необходимы в дальнейшем. Я надеюсь, что вы не утратили интереса, а, напротив, будете стремиться к знаниям более глубоким и не только на уроках математики, но и на других уроках, чтобы войти во взрослую жизнь грамотными и активными
Математические паркеты
Работа обучающегося 8б класса МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 46» Тубольцева Максима Руководитель Супруненко М.Б.
Гипотеза: можно составить паркеты только из правильных многоугольников и количество правильных и полуправильных паркетов конечно .
- Цель: подробно изучить паркеты
- Проблема: определить количество правильных паркетов.
- Задачи:
Изучить литературу, интернет-ресурсы по заданной теме. Закрепить знания свойств правильных многоугольников в процессе исследования вопроса о покрытии плоскости правильными многоугольниками.
Узнать, встречаются ли математические паркеты в природе.
Обосновать с помощью математических фактов, как можно уложить паркет.
Перечислить правильные и полуправильные паркеты, тем самым определить количество различных паркетов.
Что такое паркет?
Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.
Правильными паркетами называют те, которые можно наложить друг на друга, чтобы все стороны, углы, вершины совпадали.
Если n=5, m=3,333333 …
Для n ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие
Если паркет нельзя наложить на самого себя, то такие паркеты называются полуправильными паркетами или архимедовыми паркетами.
Паркеты в природе.
ПАРКЕТЫ ИЗ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ФИГУР
Паркеты Мориса Эшера
Паркеты Роджера Пенроуза
Паркеты, составленные мной.
Моя гипотеза подтвердилась наполовину. Количество праильных и полуправильных паркетов действительно конечно, их всего 11. Но паркеты можно составить не только из правильных многоугольников и их бесчисленное множество.
Литература и интернет-ресурсы
Колмогоров А.К., Паркеты из правильных многоугольников, Квант, 1970, №13
Михайлов О., Одиннадцать правильных паркетов-Квант, 1979, №2
Как можно объяснить математическое понятие паркета второкласснику
Для любознательных учеников
Войти через uID
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0 Сегодня нас посетилиhristikazaryan
Комментарии: 2070
Форум: 26/286
Гостевая книга: 101
| УГОЛОК ДЛЯ ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ |
Герман Вейль.
Ящерицы, изображенные голландским художником М. Эшером, образуют, как говорят математики, «паркет». Каждая ящерица плотно прилегает к своим соседям без малейших зазоров, как плашки паркетного пола.
Познакомимся с понятием «паркет» или «мозаика».
Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Например, круги не могут образовать паркет.
Паркеты из правильных многоугольников.
Красивы паркеты из правильных многоугольников: треугольников, квадратов, пятиугольников, шестиугольников, восьмиугольников. Выпуклый многоугольник называется правильным , если у него все стороны равны и все углы равны.
Паркетом из правильных многоугольников называют такое покрытие плоскости, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.
Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны. Следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов. Поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/n.
Преобразуем отношение этих чисел:
Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.
Самый простой, но и самый скучный паркет из квадратов.
Простой паркет из правильных треугольников.
Паркет из правильных шестиугольников можно встретить в мире природы. Пчелы бессознательно решают математическую задачу – они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объёме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу. Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт. При составлении паркетов из правильных многоугольников важно, чтобы сумма углов, сходящихся в одной вершине, была равна 360°.
Используя паркетное покрытие можно изготовить замечательные поделки. Маша сделала подарок для своей младшей сестры. Стул, украшенный паркетом из правильных шестиугольников и рисунками забавных пчелок, порадовал всю семью. Использовался шаблон: правильный шестиугольник, гуашь, лак. Сначала наносим рисунок карандашом, выжигаем контуры рисунка прибором для выжигания, аккуратно закрашиваем красками.
Подарок, изготовленный своими руками, самый дорогой подарок..
Паркеты из разных правильных многоугольников.
А если использовать квадраты и треугольники, то можно получить более красивые рисунки.
Сначала выясним, какое количество различных правильных многоугольников (с одинаковыми длинами сторон) может находиться вокруг каждой точки. Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая); следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно быть больше 2 (360°/180°) и не может превышать 6 (360°/60°).
М ожно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) - два варианта паркета; (3,4,4,6) - четыре варианта; (3,3,3,4,4) - четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках - обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 - правильный треугольник, 4 - квадрат, 6 - правильный шестиугольник, 12 - правильный двенадцатиугольник).
Некоторые варианты паркета показаны на следующих иллюстрациях.
Остальные варианты паркетов, а также доказательство того, что не существует других вариантов укладки паркета из правильных многоугольников (при условии, что любые два многоугольника в паркете имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек), см. в статье П.И.Соверткова и др. "Геометрический паркет на экране компьютера" (статья - в виде картинок на двух страницах, объем каждой страницы порядка 500 кб; источник - журнал "Информатика и образование, №9 за 2002 г.).
Эти паркеты нарисованы в программе Microsoft Office Excel с помощью инструментов панели рисования. Чтобы получить правильный многоугольник, используем клавишу Shift. Например, чтобы нарисовать квадрат нажимаем и удерживаем клавишу Shift, берем инструмент "прямоугольник", рисуем квадрат.
Самая замечательная «услуга», которую нам предлагает компьютер – копирование. Создав один фрагмент паркета, можно его скопировать и воспроизвести сколько угодно раз. Еще быстрее собирать паркет не из отдельных плашек, а использовать инструмент панели рисования "группировать". Копировать не отдельные плашки, а целые группы. Поэтому, рисовать паркеты на компьютере легко и быстро. Используя различные заливки можно создать удивительно необычные яркие рисунки.
Рисовать паркеты можно в разных программах: Microsoft Office Excel, Word, PowerPoint . В программе PowerPoint можно еще использовать анимации и сделать замечательный слайд-фильм.
Паркет производит приятное впечатление, если он симметричен. Фигура называется симметричной, если её можно наложить саму на себя. Например, повернув сетку из вершин и сторон, образующих паркет на этом рисунке, на 60° вокруг центра шестиугольника, получим ту же самую сетку из вершин и сторон.
М.Эшер "Ящерицы"[Кликните по изображению для увеличения рисунка]
[Вы можете раскрыть
сразу несколько изображений]
Попробуем разобраться, как Эшер создавал свои паркеты. Начнём с простой фигуры ( I ), из которой можно получить паркет. Если с одной стороны вырезается кусочек, то его надо добавить с другой стороны. Добавляем новые вершины многоугольника. Получили фигуру – новый многоугольник.
Повторяя эту операцию несколько раз, получим последовательно фигуры II, III, IV, V. Шаблон для игры «Паркет» выполнен в программе Microsoft Office Excel, можно использовать программу Word. Из одного трафарета можно получить три разных рисунка: голова женщины, голова собаки, голова воина.
Для составления игры «Паркет» использовали программу Microsoft Excel. Применили инструменты панели рисования: полилиния, кривая, начать изменение узлов. Установили командные кнопки. Выполнили визуальную запись макроса.
В игре надо составить паркет или из одной фигуры или из двух фигур. Это возможно, так как они были выполнены из одного шаблона.
Математические мозаики: придумываем паркет
Складыванием паркетов, а самое главное их придумыванием мы и занимались.
Что интересненького можно придумать?
Раскрашивание паркета Эшера. Школьников 4-5 класса это может и не заинтересовать, а вот детки помладше часто приходят в восторг от такой раскраски.
Складывание по рисунку и без. Здесь основная сложность вырезать много одинаковых фигурок из картона… Дело можно упростить, если напечатать рисунок на бумаге, заламинировать и потом вырезать. Я так и поступила.
Благодаря этому, в короткий срок у меня было много разных качественных мозаик.
Школьники уже могут догадаться, как сложить паркет без схемы. Это непростая задача: найти одинаковые выступы и выемки. Дошколятам я предлагала складывание по схеме: тоже интересно, потому что надо найти опорные точки и линии на схеме и потом на вырезанных фигурках.
Придумывание и рисование собственного паркета. Это, пожалуй, самое захватывающее занятие.
Мы создавали паркет по следующим правилам:
Находим лист в клеточку. Для первой работы, я настоятельно рекомендую распечатать вот эти крупные клетки. Можно работать и на обычной, мелкой клетке, но тогда надо разделять большие квадратно-прямоугольные области и создавать свою крупную клетку. Примерно так:
Обозначаем 4 точки в вершинах нашей фигуры.
Соединяем точки 1 и 2 любой линией. Делаем параллельный перенос и соединяем точки 3 и 4 такой же линией. Обращаю внимание: именно параллельный перенос, а не симметричное отражение.
То же самое проделываем с точками 2 и 3. Затем переносим линию между точками 1 и 4.
Повторяем работы на соседних клетках.
Придумываем на что похожа наша фигура и создаем образ.
* Небольшая подсказка: нашу фигуру можно разделить на две (3, 4, 5 фигур) произвольным образом. Тогда паркет будет выкладываться из нескольких разных форм.
Читайте также: