Как называется тангенс угла наклона касательной проведенной к диаграмме бетона из начала координат

Обновлено: 14.05.2024

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

Определение 1

Угол наклона прямой y = k x + b называется угол α , который отсчитывается от положительного направления оси о х к прямой y = k x + b в положительном направлении.

На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Угловой коэффициент прямой y = k x + b называют числовым коэффициентом k .

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k = t g α .

Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности о х и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0 . Значит, вид уравнения будет y = b .
Если угол наклона прямой y = k x + b острый, тогда выполняются условия 0 < α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α > 0 , причем имеется возрастание графика.
Если α = π 2 , тогда расположение прямой перпендикулярно о х . Равенство задается при помощи равенства x = c со значением с , являющимся действительным числом.
Если угол наклона прямой y = k x + b тупой, то соответствует условиям π 2 < α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f ( x ) . Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

По рисунку видно, что А В является секущей, а f ( x ) – черная кривая, α - красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

k = t g α = B C A C = f ( x B ) - f x A x B - x A , где абсциссами точек А и В являются значения x A , x B , а f ( x A ) , f ( x B ) - это значения функции в этих точках.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k = f ( x B ) - f ( x A ) x B - x A или k = f ( x A ) - f ( x B ) x A - x B , причем уравнение необходимо записать как y = f ( x B ) - f ( x A ) x B - x A · x - x A + f ( x A ) или
y = f ( x A ) - f ( x B ) x A - x B · x - x B + f ( x B ) .

Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А , от А до В , справа от В . На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Касательная к графику функции f ( x ) в точке x 0 ; f ( x 0 ) называется прямая, проходящая через заданную точку x 0 ; f ( x 0 ) , с наличием отрезка, который имеет множество значений х , близких к x 0 .

Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y = x + 1 , считается касательной к y = 2 x в точке с координатами ( 1 ; 2 ) . Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к ( 1 ; 2 ) значениями. Функция y = 2 x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.

Очевидно, что y = 2 x сливается с прямой у = х + 1 .

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной А В при бесконечном приближении точки В к точке А . Для наглядности приведем рисунок.

Секущая А В , обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной α x .

Касательной к графику функции y = f ( x ) в точке А считается предельное положение секущей А В при В стремящейся к А , то есть B → A .

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей А В для функции f ( x ) , где А и В с координатами x 0 , f ( x 0 ) и x 0 + ∆ x , f ( x 0 + ∆ x ) , а ∆ x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆ y = ∆ f ( x ) = f ( x 0 + ∆ x ) - f ( ∆ x ) . Для наглядности приведем в пример рисунок.

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник А В С . Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆ y ∆ x = t g α . Из определения касательной следует, что lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . По правилу производной в точке имеем, что производную f ( x ) в точке x 0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆ x → 0 , тогда обозначим как f ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Отсюда следует, что f ' ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , где k x обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f ’ ( x ) может существовать в точке x 0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x 0 , f 0 ( x 0 ) , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x 0 . Тогда получаем, что k x = f ' ( x 0 ) .

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке x 0 , f 0 ( x 0 ) принимает вид y = f ' ( x 0 ) · x - x 0 + f ( x 0 ) .

Имеется в виду, что конечным значением производной f ' ( x 0 ) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии lim x → x 0 + 0 f ' ( x ) = ∞ и lim x → x 0 - 0 f ' ( x ) = ∞ или отсутствие вовсе при условии lim x → x 0 + 0 f ' ( x ) ≠ lim x → x 0 - 0 f ' ( x ) .

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента k x = f ' ( x 0 ) . При параллельности к оси о х получаем, что k k = 0 , при параллельности к о у - k x = ∞ , причем вид уравнения касательной x = x 0 возрастает при k x > 0 , убывает при k x < 0 .

Произвести составление уравнения касательной к графику функции y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 в точке с координатами ( 1 ; 3 ) с определением угла наклона.

Решение

По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, ( 1 ; 3 ) является точкой касания, тогда x 0 = - 1 , f ( x 0 ) = - 3 .

Необходимо найти производную в точке со значением - 1 . Получаем, что

y ' = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 ' = = e x + 1 ' + x 3 3 ' - 6 - 3 3 x ' - 17 - 3 3 ' = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y ' ( x 0 ) = y ' ( - 1 ) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда k x = t g α x = y ' ( x 0 ) = 3 3

Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

y = f ' ( x 0 ) · x - x 0 + f ( x 0 ) y = 3 3 ( x + 1 ) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.

Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y = 3 · x - 1 5 + 1 в точке с координатами ( 1 ; 1 ) . Составить уравнение и определить угол наклона.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

y ' = 3 · x - 1 5 + 1 ' = 3 · 1 5 · ( x - 1 ) 1 5 - 1 = 3 5 · 1 ( x - 1 ) 4 5

Если x 0 = 1 , тогда f ’ ( x ) не определена, но пределы записываются как lim x → 1 + 0 3 5 · 1 ( x - 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( + 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 - 0 3 5 · 1 ( x - 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( - 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , что означает существование вертикальной касательной в точке ( 1 ; 1 ) .

Ответ: уравнение примет вид х = 1 , где угол наклона будет равен π 2 .

Для наглядности изобразим графически.

Найти точки графика функции y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , где

Касательная не существует;
Касательная располагается параллельно о х ;
Касательная параллельна прямой y = 8 5 x + 4 .

Решение

Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x ∈ - ∞ ; 2 и [ - 2 ; + ∞ ) . Получаем, что

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞ )

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

y ' = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ' , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ' , x ∈ [ - 2 ; + ∞ ) ⇔ y ' = - 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞ )

Когда х = - 2 , тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:

lim x → - 2 - 0 y ' ( x ) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 ( - 2 ) 2 + 12 ( - 2 ) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y ' ( x ) = lim x → - 2 + 0 1 5 ( x 2 - 4 x + 3 ) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Вычисляем значение функции в точке х = - 2 , где получаем, что

y ( - 2 ) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 ( - 2 ) 2 - 16 5 ( - 2 ) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 , то есть касательная в точке ( - 2 ; - 2 ) не будет существовать.
Касательная параллельна о х , когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда k x = t g α x = f ' ( x 0 ) . То есть необходимо найти значения таких х , когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f ’ ( x ) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной о х .

Когда x ∈ - ∞ ; - 2 , тогда - 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 , а при x ∈ ( - 2 ; + ∞ ) получаем 1 5 ( x 2 - 4 x + 3 ) = 0 .

- 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 D = 12 2 - 4 · 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 ( x 2 - 4 x + 3 ) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; + ∞

Вычисляем соответствующие значения функции

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y ( - 7 ) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 ( - 7 ) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y ( 1 ) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 · 1 2 - 16 5 · 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y ( 3 ) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 · 3 2 - 16 5 · 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Отсюда - 5 ; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 8 5 , 3 ; 4 3 считаются искомыми точками графика функции.

Рассмотрим графическое изображение решения.

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 8 5 . Для этого нужно решить уравнение вида y ' ( x ) = 8 5 . Тогда, если x ∈ - ∞ ; - 2 , получаем, что - 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 8 5 , а если x ∈ ( - 2 ; + ∞ ) , тогда 1 5 ( x 2 - 4 x + 3 ) = 8 5 .

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

- 1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 · 43 = - 28 < 0

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

1 5 ( x 2 - 4 x + 3 ) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · ( - 5 ) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; + ∞

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

y 1 = y ( - 1 ) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 ( - 1 ) 2 - 16 5 ( - 1 ) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y ( 5 ) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 · 5 2 - 16 5 · 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Точки со значениями - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y = 8 5 x + 4 .

Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y = 8 5 x + 4 , синяя линия – касательные в точках - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать задание

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , которые располагаются перпендикулярно прямой y = - 2 x + 1 2 .

Решение

Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется - 1 , то есть записывается как k x · k ⊥ = - 1 . Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k ⊥ = - 2 , тогда k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х , после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x 0 получаем, что k x = y ' ( x 0 ) . Из данного равенства найдем значения х для точек касания.

y ' ( x 0 ) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ' = 3 · - sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 x 0 - π 4 ' = = - 3 · sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 = - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y ' ( x 0 ) ⇔ - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z - множество целых чисел.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 · 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 или y 0 = 3 · - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 · 1 - - 1 9 2 - 1 3 или y 0 = 3 · - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 или y 0 = - 4 5 + 1 3

Отсюда получаем, что 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 являются точками касания.

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [ - 10 ; 10 ] , где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y = - 2 x + 1 2 . Красные точки – это точки касания.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Для задания окружности с центром в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и радиусом R применяется формула x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Для составления уравнения окружности в точке x 0 ; y 0 , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r в указанной точке.

Когда в точках x c e n t e r ; y c e n t e r + R и x c e n t e r ; y c e n t e r - R касательные могут быть заданы уравнениями y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r - R , а в точках x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r - R ; y c e n t e r будут являться параллельными о у , тогда получим уравнения вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r - R .

Касательная к эллипсу

Когда эллипс имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r с полуосями a и b , тогда он может быть задан при помощи уравнения x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

y = b a · a 2 - ( x - x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - ( x - x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r

Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны о х или о у . Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Написать уравнение касательной к эллипсу x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 в точках со значениями x равного х = 2 .

Решение

Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х = 2 . Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Тогда 2 ; 5 3 2 + 5 и 2 ; - 5 3 2 + 5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.

Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y . Получим, что

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 ( y - 5 ) 2 = 25 · 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 · 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , а нижний y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид

y ' = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 ' = 5 2 · 1 2 4 - ( x - 3 ) 2 · 4 - ( x - 3 ) 2 ' = = - 5 2 · x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y ' ( x 0 ) = y ' ( 2 ) = - 5 2 · 2 - 3 4 - ( 2 - 3 ) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y ' ( x 0 ) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 ( x - 2 ) + 5 3 2 + 5

Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2 ; - 5 3 2 + 5 принимает вид

y ' = 5 - 5 2 4 - ( x - 3 ) 2 ' = - 5 2 · 1 2 4 - ( x - 3 ) 2 · 4 - ( x - 3 ) 2 ' = = 5 2 · x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y ' ( x 0 ) = y ' ( 2 ) = 5 2 · 2 - 3 4 - ( 2 - 3 ) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y ' ( x 0 ) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 ( x - 2 ) - 5 3 2 + 5

Графически касательные обозначаются так:

Касательная к гиперболе

Когда гипербола имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и вершины x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r - α ; y c e n t e r , имеет место задание неравенства x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 , если с вершинами x c e n t e r ; y c e n t e r + b и x c e n t e r ; y c e n t e r - b , тогда задается при помощи неравенства x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

y = b a · ( x - x c e n t e r ) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · ( x - x c e n t e r ) 2 - a 2 + y c e n t e r или y = b a · ( x - x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · ( x - x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r

В первом случае имеем, что касательные параллельны о у , а во втором параллельны о х .

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Составить уравнение касательной к гиперболе x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 в точке 7 ; - 3 3 - 3 .

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x - 3 2 - 4 и л и y + 3 = - 3 2 · x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3

Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7 ; - 3 3 - 3 .

Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y ( 7 ) = 3 2 · ( 7 - 3 ) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.

Для второй функции имеем, что y ( 7 ) = - 3 2 · ( 7 - 3 ) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.

y ' = - 3 2 · ( x - 3 ) 2 - 4 - 3 ' = - 3 2 · x - 3 ( x - 3 ) 2 - 4 ⇒ k x = y ' ( x 0 ) = - 3 2 · x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 · 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Ответ: уравнение касательной можно представить как

y = - 3 · x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 · x + 4 3 - 3

Наглядно изображается так:

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе y = a x 2 + b x + c в точке x 0 , y ( x 0 ) , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y = y ' ( x 0 ) · x - x 0 + y ( x 0 ) . Такая касательная в вершине параллельна о х .

Следует задать параболу x = a y 2 + b y + c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у . Получаем, что

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a ( c - x ) y = - b + b 2 - 4 a ( c - x ) 2 a y = - b - b 2 - 4 a ( c - x ) 2 a

Графически изобразим как:

Для выяснения принадлежности точки x 0 , y ( x 0 ) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна о у относительно параболы.

Написать уравнение касательной к графику x - 2 y 2 - 5 y + 3 , когда имеем угол наклона касательной 150 ° .

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

- 2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = ( - 5 ) 2 - 4 · ( - 2 ) · ( 3 - x ) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

k x = y ' ( x 0 ) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

y ' = 5 + 49 - 8 x - 4 ' = 1 49 - 8 x ⇒ y ' ( x 0 ) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

y ' = 5 - 49 - 8 x - 4 ' = - 1 49 - 8 x ⇒ y ' ( x 0 ) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y ( x 0 ) = 5 - 49 - 8 · 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Тангенс угла наклона касательной к графику зависимости координаты ( или пути) тела от времени численно равен скорости тела. Поэтому прямая, представляющая график х ( t) между tj и Г2 в точках, соответствующих моментам rt и Г2, будет являться касательной к параболам, описывающим движение тела до момента Г [ и после момента t2, являющимся графиками х ( t) или s ( t) до момента ( ] и после момента 1г соответственно. [1]

Тангенс угла наклона касательной к этой кривой в точке ы9 0 и характеризует чувствительность сельсинов. [2]

Тангенс угла наклона касательной а выражает скорость изменения регулируемой величины. [3]

Тангенс угла наклона касательной к кривой в точке ( х; у равен yi dy х / ах. [4]

Тангенс угла наклона касательной к графику зависимости координаты ( или пути) тела от времени численно равен скорости тела. [5]

Тангенс угла наклона касательной определяет скорость изменения функции. Вычисления сводятся просто к нахождению скорости изменения функции в некоторой точке. Это позволяет нам вычислять ускорения из выражения, описывающего изменение скорости, или скорости из выражения, связывающего расстояние и время. [6]

Тангенс угла наклона касательной в точке, отвечающей концентрации d и обозначаемый tg q, подставляют в уравнение Гиббса как поверхностную активность. Если растворы можно считать идеальными, то адсорбцию вычисляют по уравнению. [8]

Тангенс угла наклона касательной к изобаре равен абсолютной температуре, как и в случае идеального газа или перегретого пара. Следовательно, расположение изобар и направление их выпуклости в диаграмме I-S насыщенного воздуха должно быть таким же, как и в диаграмме i - s для идеального газа или перегретого пара, что мы и видим на фиг. Но вместе с тем здесь имеется одна особенность: температура газа или пара может возрастать неограниченно, в то время как температура насыщенного воздуха имеет предел. С увеличением энтальпии и энтропии при постоянном давлении она возрастает все медленнее и в бесконечности становится равной температуре насыщения водяного пара при данном давлении смеси. При этом изобара переходит в прямую линию, сливаясь с изотермой. [9]

Тангенс угла наклона касательных к кривой постепенно увеличивается. [11]

Тангенс угла наклона касательной к изобаре равен абсолютной температуре, как и в случае идеального газа или перегретого пара. Следовательно, расположение изобар и направление их выпуклости в диаграмме I-S насыщенного воздуха должно быть таким же, как. Но вместе с тем здесь имеется одна особенность: температура газа или пара может возрастать неограниченно, в то время как температура насыщенного воздуха имеет предел. С увеличением энтальпии и энтропии при постоянном давлении она возрастает все медленнее и в бесконечности становится равной температуре насыщения водяного пара при данном давлении смеси. При этом изобара переходит в прямую линию, сливаясь с изотермой. [12]

Тангенс угла наклона касательной к любой точке кривой иа пространственно-временной диаграмме пропорционален скорости движения электрона в данной точке. Ток / ск, протекающий в пространстве сетка-катод, обычно называется суммарным током, а ток / Са, протекающий в пространстве анод-сетка, - анодным током. Кроме суммарного и анодного токов, определим еще и сеточный ток / с / ск - - / с а - Будем приближенно полагать, что проницаемость лампы D0, допуская тем самым, что сетка полностью экранируе. [14]

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Если изучать релаксационные свойства смесей фракций поли-а-метилстирола различного молекулярного веса, то оказывается, что в таком случае тангенс угла наклона графика зависимости log Я от logx приближается к теоретическому значению - 7г в переходной зоне. [16]

Функции ty ( 0 построенные для - 45 и 25, при больших значениях аргумента сливаются в общую зависимость, а тангенс угла наклона графика этой зависимости, построенного в двойных логарифмических координатах, приближается к единице. [17]

По найденным результатам определяют линейное уравнение регрессии связи Ремет с Ре0бщ: FeMeT tg a2 Ре0бщ - А, где tg а2 - тангенс угла наклона графика ; А - числовая величина, равная tg a2 Ре0бщ, Ре0бщ - содержание Ре0бщ, при котором в продукте восстановления начинает появляться Ремет. [18]

Из рис. 1.10 видно, что если ах 0 и совпадает с направлением начальной скорости, то скорость непрерывно возрастает, что следует из рис. 1.10 5, а также 1.10 в - увеличивается тангенс угла наклона графика x ( t), который определяет скорость материальной точки v Дх / Д tga. Вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. График x ( i) при ах 0 ( рис. 1.10 е) представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. [19]

Из заданного графика скорости видно, что на первом этапе ( 0 - / j) материальная точка движется равноускоренно - с ускорением fli const; на втором этапе ( tl - / 2) - равноускоренно с ускорением г2 д1 ( так как тангенс угла наклона графика скорости на этом участке больше ( tg а2 tgctj); на третьем участке ( - Ы движение равномерное ( а30); на четвертом и пятом участках ( / 3 - tb) движение рав-нозамедленное и далее - опять равноускоренное с ускорением, равным аг, так как углы - наклона графика скорости здесь и на втором участке одинаковы. [20]

Если статическая водоотдача, являясь величиной условной, определяется количеством отфильтрованной жидкой фазы раствора в единицу времени ( см3 за 30 мин), то динамическая водоотдача, имеющая в системе координат время - водоотдача два периода, связанных с формированием глинистой корки и динамического равновесия водоотдачи и толщины корки, характеризуется тангенсом угла наклона графика второго периода к оси. Для определения динамической водоотдачи наиболее приемлем ПВД-5, выполненный в виде компактного настольного прибора. Он предназначен как для лабораторных, так и для промышленных измерений динамической водоотдачи при давлении 0 1 МПа и комнатной температуре. [21]

Функции кислотности, отличные от HQ. Тангенсы угла наклона графиков зависимости k от 0 ( ArNH2) обычно больше единицы, хотя во многих случаях и весьма близки к ней. Неединичный наклон, по-видимому, обусловлен тем, что переходное состояние для медленного переноса протона ( Н20) Н - - - СН2 - СНС6Н5 не слишком напоминает карбониевый ион. [22]

По тангенсу угла наклона графика в кинетической области определена энергия активации Е 16.78 ккал моль. Полученное значение энергии активации хорошо согласуется с приведенным в работе [6] значением энергии активации реакции восстановления а - Fe2O, окисью углерода: Е 17 5 ккал / моль. [23]

Указать, чему равен тангенс угла наклона графика к оси абсцисс. [24]

Энергия ядра двойникующей дислокации равна 1 эВ на период идентичности, или 0 091 эВ / атом ( 5 87 10 - s эрг / см), что значительно меньше, чем для полной смешанной дислокации. Согласно континуальной теории дислокаций, тангенс угла наклона графика на рис. 2.11 должен быть пропорционален 6г, т.е. для полной дислокации он должен быть в 9 раз больше. Рисунок показывает, что указанная зависимость действительно имеет место. [25]

Линейность графиков для плазмы без щелочного элемента и плазмы со щелочным элементом свидетельствует о больцмановском распределении заселенностей вращательных уровней группы ОН. Температура атомов ( газа), вычисленная по тангенсу угла наклона графиков ( tgcpl / r), составила 4200 200 К и 5000 200 К соответственно. [27]

На рис. 2 - 21 а показано первоначальное и конечное распределения потенциала внутри диэлектрика с симметричными поляризационными зарядами, характеризующее искажение электрического поля. Первоначально падение потенциала в диэлектрике по длине силовой линии происходит по прямой, что соответствует равномерному полю, так как для всех точек силовой линии скорость падения потенциала ( напряженность) будет одна и та же, определяемая тангенсом угла наклона графика падения потенциала к оси абсцисс. [29]

Поскольку имеет место линейная зависимость, то значения СРТУ рассчитывали по обобщенному уравнению Париса [14], в соответствии с которым СРТУ выражается как da / dN С0 & Кп, где da / dN - скорость роста трещины усталости; С0 - постоянная, определяемая графически по зависимости log ( da / dN) - log А / С и равная значению dafdN при А / С0 31 МПа-м ] / 3; п - тангенс угла наклона графика зависимости og ( da / dN) - log АД к оси log А / С; А / С - размах коэффициента интенсивности напряжений. [30]

Значение производной в точке касания как тангенс угла наклона

Заметим, что координаты точки \(A\) тогда можно записать как \( \ (x_0; f(x_0)) \ \) или \( \ (x_0; y_0) \ \) ,
где \( \ y_0=kx_0+b\) .
То есть \( \ y_0=f(x_0)\) .

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображены график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\) . Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) .

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) (то есть угла между касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) и положительным направлением оси \(Ox\) ).

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) .

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\) и отмечены точки \(-2; \ 0; \ 2; \ 8\) . В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

При всех \(\alpha\) , при которых \(\mathrm\, \alpha\) и \(\mathrm\, \alpha\) имеют смысл, выполнено \(\mathrm\, \alpha\cdot\mathrm\, \alpha = 1\) , откуда котангенс угла наклона касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) равен \(0,1\) .

Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона

\(\blacktriangleright\) Если уравнение прямой задано в виде \(>\) , то число \(k\) называется угловым коэффициентом.

\(\blacktriangleright\) Угол \(\alpha\) наклона прямой – это угол между этой прямой и положительным направлением оси \(Ox\) ( \(0\leqslant \alpha< 180^\circ\) ), лежащий в верхней полуплоскости.

\(\blacktriangleright\) Основная формула. Угловой коэффициент прямой \(y=kx+b\) равен тангенсу угла наклона этой прямой:

\[<\large<\color\, \alpha>>>\]
Т.к. касательная к графику некоторой функции — это и есть прямая, то для нее верны все эти утверждения.

если \(\alpha=0^\circ\) , то \(k=0\) (уравнение прямой имеет вид \(y=b\) и она параллельна оси \(Ox\) );

если \(\alpha=90^\circ\) , то уравнение прямой имеет вид \(x=a\) и она перпендикулярна оси \(Ox\) .

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = x\) , образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\) . Найдите \(\mathrm\, \alpha\) .

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\) , коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\) .

Так как для прямой \(y = x\) коэффициент \(k\) равен \(1\) , то \(\mathrm\, \alpha = 1\) .

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = 2x - 3\) , образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\) . Найдите \(\mathrm\, \alpha\) .

Так как для прямой \(y = 2x - 3\) коэффициент \(k\) равен \(2\) , то \(\mathrm\, \alpha = 2\) .

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = -x + 2\) , образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\) . Найдите \(\mathrm\, \alpha\) .

Так как для прямой \(y = -x + 2\) коэффициент \(k\) равен \(-1\) , то \(\mathrm\, \alpha = -1\) .

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = kx + 77\) , образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\) . Найдите \(k\) , если \(\mathrm\, \alpha = 12\) .

Так как тангенс угла \(\alpha\) между прямой \(y = kx + 77\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(12\) , то \(k = \mathrm\, \alpha = 12\) .

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = kx + 0,2\) , образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\) . Найдите \(k\) , если \(\mathrm\, \alpha = -3,3\) .

Так как тангенс угла \(\alpha\) между прямой \(y = kx + 0,2\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(-3,3\) , то \(k = \mathrm\, \alpha = -3,3\) .

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = kx\) , образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\) . Найдите \(k\) , если \(\mathrm\, \alpha = 0\) .

Так как тангенс угла \(\alpha\) между прямой \(y = kx\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(0\) , то \(k = \mathrm\, \alpha = 0\) .

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая \(y = kx - 2016\) образует угол \(45^\) с положительным направлением оси \(Ox\) . Найдите \(k\) .

Так как угол между прямой \(y = kx - 2016\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(\dfrac<\pi>\) , то \(k = \mathrm\, \dfrac<\pi> = 1\) .

Мои задачи Добавить папку Мои задачи

Теме «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона» в аттестационном экзамене отводится сразу несколько заданий. В зависимости от их условия, от выпускника может требоваться как полный ответ, так и краткий. При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике ученику обязательно стоит повторить задачи, в которых требуется вычислить угловой коэффициент касательной.

Сделать это вам поможет образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили и представили теоретический и практический материал максимально доступно. Ознакомившись с ним, выпускники с любым уровнем подготовки смогут успешно решать задачи, связанные с производными, в которых требуется найти тангенс угла наклона касательной.

Основные моменты

Для нахождения правильного и рационального решения подобных заданий в ЕГЭ необходимо вспомнить базовое определение: производная представляет собой скорость изменения функции; она равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в определенной точке. Не менее важно выполнить чертеж. Он позволит найти правильное решение задач ЕГЭ на производную, в которых требуется вычислить тангенс угла наклона касательной. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика на плоскости ОХY.

Если вы уже ознакомились с базовым материалом на тему производной и готовы приступить к решению задач на вычисление тангенса угла наклона касательной, подобных заданиям ЕГЭ, сделать это можно в режиме онлайн. Для каждого задания, например, задач на тему «Связь производной со скоростью и ускорением тела», мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут попрактиковаться в выполнении задач различного уровня сложности. В случае необходимости упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить решение с преподавателем.

Как называется тангенс угла наклона касательной проведенной к диаграмме бетона из начала координат

УПС, страница пропала с радаров.

Вам может понравиться Все решебники

Рабочая тетрадь

Колесов, Маш, Беляев

Баранова, Дули, Копылова

Александрова

Александрова, Загоровская, Богданов

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Почему проекция ускорения - это тангенс угла?

Это вырванное из контекста утверждение, которое приходится додумывать самому.

Подозреваю, что оно связано со свойством производной - производная величины равна тангенсу угла наклона касательной в данной точке графика. Хотя это даже не свойство, а часть определения касательной.

Так что этот "угол" не имеет отношения к углам реального движения. Это угол наклона графика v(t), так как ускорение - это производная скорости по времени. Ну а проекция ускорения - производная проекции скорости. Почему производная равна тангенсу угла наклона касательной? Это становится понятно, если провести секущую, найти ее тангенс, а потом начинать приближать вторую точку сечения к первой.

Читайте также: