Как изменяется по фазе ток и напряжение в цепи с индуктивностью

Обновлено: 08.05.2024

Электрическая цепь с индуктивностью

Индуктивностью L теоретически обладают все проводники с током. Но в некоторых случаях эта индуктивность так мала, что ею вполне можно пренебречь. Значительна индуктивность у обмоток или катушек, состоящих из большого числа витков провода.

Рассмотрим идеальную катушку с постоянной индуктивностью L, то есть такую катушку, активное сопротивление которой равно нулю.

Пусть к цепи с индуктивностью L приложено синусоидальное напряжение . Под действием этого напряжения в цепи индуктивной катушки возникает ток i. Этот ток создает магнитный поток Ф, который согласно закону электромагнитной индукции индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции

где w – число витков катушки.

Условное положительное направление ЭДС e_L выбирают из условия, что её действительное направление в любой момент времени противоположно направлению u_L ().

По второму закону Кирхгофа имеем , а с учетом того, что , получаем

Чтобы получить это уравнение на основании , условное положительное направление e_L следует всегда принимать совпадающим с положительным направлением тока.

Решая это уравнение, получим выражение для тока в цепи:

Так как амплитуда тока

то окончательное выражение для тока имеет вид

В формуле знаменатель в правой части имеет размерность сопротивления. Это индуктивное сопротивление

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности. С учетом этой формулы получаем

Для действующих значений напряжения и тока

Так как согласно ЭДС самоиндукции численно равна напряжению на элементе с индуктивностью, то, используя , имеем

Видно, что индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током и ЭДС самоиндукции.

В соответствии с принимая во внимание, что , комплексное напряжения , а в соответствии с и комплексный ток

На векторной диаграмме вектор напряжения, имеющий начальную фазу, равную нулю, отложен по мнимой оси, а вектор тока, имеющий начальную фазу , - в положительном направлении вещественной оси. Угол сдвига фаз между напряжением и током в цепи с индуктивностью .

Если модули напряжения и тока связаны соотношением , то их комплексные значения связаны соотношением

В цепи с индуктивностью L угол и формула принимает вид

то есть мгновенное значение мощности имеет только переменную составляющую.

Первую четверть периода ток совпадает по направлению с ЭДС самоиндукции e_L индуктивной катушки, мощность отрицательна и энергия передается от катушки к источнику питания. Вторую четверть периода ток совпадает по направлению с напряжением источника питания, мощность положительна, а энергия поступает от источника к приемнику (индуктивной катушке) и запасается в его магнитном поле. В течение третьей четверти периода ток опять совпадает по направлению с e_L и запасенная в магнитном поле катушки энергия передается источнику питания (мощность отрицательна).

Таким образом, в течение одного периода электроэнергия дважды поступает от источника в катушку и обратно. При этом вся передаваемая энергия запасается в магнитном поле катушки и затем вся возвращается источнику. Такая энергия обмена между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена электроэнергией характеризуется реактивной мощностью Q_L, равной амплитуде мгновенного значения мощности, то есть

Реактивную мощность выражают в вольт-амперах реактивных (вар), киловольт-амперах реактивных (квар) и т.д.

Напряжение на элементе с индуктивностью , поэтому реактивная мощность можно также определить по формулам

ЦЕПЬ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ

напряжения в цепи устанавливается такой ток , который в каждый момент времени индуктирует э. д. с. самоиндукции, равную по величине и противоположную по направлению приложенному напряжению, т. е. э. д. с, уравновешивающую напряжение.

С другой стороны, уравнение показывает, что напряжение на индуктивности пропорционально скорости изменения тока по времени.

При синусоидальном токе (рис. 5-15) скорость изменения его

d i : dt = I _м(d sin ωt : dt) = ω I _мcosωt

т. е. скорость изменения пропорциональна косинусу. Следовательно, при прохождении тока через максимум скорость его изменения равна нулю, а при прохождении тока через нулевое значение скорость его изменения наибольшая (рис. 5-15).

Рис. 5-15. Графики тока, магнитного потока, напряжения и мощности цепи с индуктивностью.

Напряжение на индуктивности

и = L( d i : dt ) = Lω I _мcosωt = Lω I _мsin (ωt + π :2)

Таким образом, при синусоидальном токе напряжение на индуктивности также синусоидально, но по фазе опере жает ток на угол π /2 (рис. 5-16).

Индуктированная в цепи э. д. с. самоиндукции

e_L = — и = — Lω I _M sin ( ωt + π :2) = Lω I _M sin ( ωt — π :2)

сдвинута по фазе от напряжения на половину периода.

Векторная диаграмма цепи с индуктивностью дана на рис. 5-16.

Рис. 5-16. Векторная диаграмма цепи с индуктивностью.

Индуктивное сопротивление

Из выражений следует, что максимальное значение, напряжения и равное ему максимальное значение э. д. с.

Разделив написанные выражения на √2, получим действующие значения напряжения и э. д. с.

U = E_L = Lω I

откуда действующее значение тока I = U : ωL = U : x_L

Величина, определяемая отношением напряжения к току цепи:

U : I = ωL = 2 πfL = x_L

называется реактивным сопротивлением индуктивности или просто индуктивным сопротивлением.

Индуктивное сопротивление пропорционально индуктивности и частоте переменного тока. При изменении частоты от f = 0 (постоянный ток) до f = ∞ оно изменяется от x_L = 0 до x_L = ∞.

Мощность

Мгновенное значение мощности

р = u i = U_м сos 2 ωt = U I sin 2ωt

Приняв во внимание, что sin ωt cos ωt = 1/2 sin 2 ωt, получим: p = 1/2U _м I _м sin 2ωt = U I sin 2ωt

На рис. 5-15 показан график мгновенной мощности. Мгновенная мощность в цепи с индуктивностью изменяется с двойной частотой,; достигая то положительного максимума U I = I 2 ωL, то такого же по величине отрицательного максимума.

При нарастании тока, а следовательно, и магнитного потока (первая и третья четверти периода, рис. 5-15), независимо от его направления, происходит: накопление энергии магнитного поля от пуля до максимального значений: W_м = 1/2 L I 2 _м = L I 2

которая получается от генератора; таким образом, цепь работает в режиме потребителя, что соответствует положительному значению мощности цепи.

При спадании тока, а следовательно, и магнитного потока (вторая и четвертая четверти периода, рис. 5-15) происходит уменьшение энергии магнитного поля от максимального значения до нуля, которая возвращается цепью генератору. Таким образом, в эти части периода цепь работает в режиме генератора, что соответствует отрицательному значению мощности цепи с индуктивностью.

Средняя мощность Р в цепи с индуктивностью равна нулю.

Максимальное значение мощности Q в цепи с индуктивностью принято называть реактивной мощностью.

Из (5-27) следует, что Q = 1/2U_м I _м = U I = I 2 ωL = ωW_м

Единица измерения реактивной мощности носит название вольт-ампер реактивный (вар).

Пример 5-5. Катушка с индуктивностью 0,01 гн включена в сеть

с напряжением 127 в и частотой 50 гц.

1. Определить реактивное сопротивление, ток цепи и реактивную мощность:

x_L = 2 πf L = 2 π • 50 • 0,01 = 3,14 ом;

I = U/ x_L = 127 : 3,14 = 40,5 а

Q = U I = 127 • 40,5 = 5143,5 вар.

2. Определить реактивное сопротивление и ток при частоте 500 гц:

x_L = 2 πf L = 2π • 500 • 0,01=31,4 ом;

I = U / x_L = 127 : 31,4 = 4,05 a

Зависимость между э. д. с. и магнитным потоком

При расчете цепей переменного тока со сталью часто индуктированную з. д. с. выражают через магнитный поток. Амплитудное значение потокосцепления самоиндукции

Если все витки контура пронизываются одним магнитным потоком, то Ψ_м = ɯФ_м

В этом случае э. д. с. самоиндукции или равное ей напряжение можно выразить:

U=E _L = ωL( I _м/√2) = 2 πf ( ɯФ_м /√2) = 4,44 ɯ Ф_м

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Рассмотрим цепь, содержащую в себе катушку индуктивности , и предположим, что активное сопротивление цепи, включая провод катушки, настолько мало, что им можно пренебречь. В этом случае подключение катушки к источнику постоянного тока вызвало бы его короткое замыкание, при котором, как известно, сила тока в цепи оказалась бы очень большой.

Иначе обстоит дело, когда катушка присоединена к источнику переменного тока. Короткого замыкания в этом случае не происходит. Это говорит о том. что катушка индуктивности оказывает сопротивление проходящему по ней переменному току .

Каков характер этого сопротивления и чем оно обусловливается?

Чтобы ответить ил этот вопрос, вспомним явление самоиндукции. Всякое изменение тока в катушке вызывает появление в ней ЭДС самоиндукции, препятствующей изменению тока. Величина ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна величине индуктивности катушки и скорости изменения тока в ней. Но так как переменный ток непрерывно изменяется, то непрерывно возникающая в катушке ЭДС самоиндукции создает сопротивление переменному току.

Для уяснения процессов, происходящих в цепи переменного тока с катушкой индуктивности, обратимся к графику. На рисунке 1 построены кривые линии, характеризующие соответственно тик в цепи, напряжение на катушке и возникающую в ней ЭДС самоиндукции. Убедимся в правильности произведенных па рисунке построений.

Цепь переменного тока с катушкой индуктивности

С момента t = 0, т. е. с начального момента наблюдения за током, он начал быстро возрастать, но по мере приближения к своему максимальному значению скорость нарастания тока уменьшалась. В момент, когда ток достиг максимальной величины, скорость его изменения на мгновение стала равной нулю, т. е. прекратилось изменение тока. Затем ток начал сначала медленно, а потом быстро убывать и по истечении второй четверти периода уменьшился до нуля. Скорость же изменения тока за эту четверть периода, возрастая от пуля, достигла наибольшей величины тогда, когда ток станет равным нулю.

Рисунок 2. Характер изменений тока во времени в зависимости от величины тока

Из построений на рисунке 2 видно, что при переходе кривой тока через ось времени увеличение тока за небольшой отрезок времени t больше, чем за этот же отрезок времени, когда кривая тока достигает своей вершины.

Следовательно, скорость изменения тока уменьшается по мере увеличения тока и увеличивается по мере его уменьшения, независимо от направления тока в цепи.

Очевидно, и ЭДС самоиндукции в катушке должна быть наибольшей тогда, когда скорость изменения тока наибольшая, и уменьшаться до нуля, когда прекращается его изменение. Действительно, на графике кривая ЭДС самоиндукции e _L за первую четверть периода, начиная от максимального значения, упала до нуля (см. рис. 1).

На протяжении следующей четверти периода ток от максимального значения уменьшался до нуля, однако скорость его изменения постепенно возрастала и была наибольшей в момент, когда ток стал равным нулю. Соответственно и ЭДС самоиндукции за время этой четверти периода, появившись вновь в катушке, постепенно возрастала и оказалась максимальной к моменту, когда ток стал равным нулю.

Однако направление свое ЭДС самоиндукции изменила на обратное, так как возрастание тока в первой четверти периода сменилось во второй четверти его убыванием.

Цепь с индуктивностью

Продолжив дальше построение кривой ЭДС самоиндукции, мы убеждаемся в том, что за период изменения тока в катушке и ЭДС самоиндукции совершит в ней полный период своего изменения. Направление ее определяется законом Ленца: при возрастании тока ЭДС самоиндукции будет направлена против тока (первая и третья четверти периода), а при убывании тока, наоборот, совпадать с ним по направлению (вторая и четвертая четверти периода).

Таким образом, ЭДС самоиндукции, вызываемая самим переменным током, препятствует его возрастанию и , наоборот, поддерживает его при убывании .

Обратимся теперь к графику напряжения на катушке (см. рис. 1). На этом графике синусоида напряжения на зажимах катушки изображена равной и противоположной синусоиде ЭДС самоиндукции. Следовательно, напряжение на зажимах катушки в любой момент времени равно и противоположно ЭДС самоиндукции, возникающей в ней. Напряжение это создается генератором переменного тока и идет на то, чтобы погасить действие в цепи ЭДС самоиндукции.

Таким образом, в катушке индуктивности, включенной в цепь переменного тока, создается сопротивление прохождению тока. Но так как такое сопротивление вызывается в конечном счете индуктивностью катушки , то и называется оно индуктивным сопротивлением.

Индуктивное сопротивление обозначается через X _L и измеряется, как и активное сопротивление, в омах.

Закон Ома для цепи переменного тока, содержащей индуктивное сопротивление, звучит так: величина тока прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна индуктивному сопротивлению це п и , т. е. I = U / X _L , где I и U — действующие значения тока и напряжения, а X _L — индуктивное сопротивление цепи.

Рассматривая графики изменения тока в катушке. ЭДС самоиндукции и напряжения на ее зажимах, мы обратили внимание на то, что изменение этих в еличин не совпадает по времени. Иначе говоря, синусоиды тока, напряжения и ЭДС самоиндукции оказались для рассматриваемой нами цепи сдвинутыми по времени одна относительно другой. В технике переменных токов такое явление принято называть сдвигом фаз .

Если же две переменные величины изменяются по одному и тому же закону (в нашем случае по синусоидальному) с одинаковыми периодами, одновременно достигают своего максимального значения как в прямом, так и в обратном направлении, а также одновременно уменьшаются до нуля, то такие переменные величины имеют одинаковые фазы или, как говорят, совпадают по фазе.

В качестве примера на рисунке 3 приведены совпадающие по фазе кривые изменения тока и напряжения. Такое совпадение фаз мы всегда наблюдаем в цепи переменного тока, состоящей только из активного сопротивления.

В том случае, когда цепь содержит индуктивное сопротивление, фазы тока и напряжения, как это видно из рис. 1 не совпадают, т. е. имеется сдвиг фаз между этими переменными величинами. Кривая тока в этом случае как бы отстает от кривой напряжения на четверть периода.

Следовательно, при включении катушки индуктивности в цепь переменного тока в цепи появляется сдвиг фаз между током и напряжением, причем ток отстает по фазе от напряжения на четверть периода . Это значит, что максимум тока наступает через четверть периода после того, как наступил максимум напряжения.

ЭДС же самоиндукции находится в противофазе с напряжением на катушке, отставая, в свою очередь, от тока на четверть периода. При этом период изменения тока, напряжения, а также и ЭДС самоиндукции не меняется и остается равным периоду изменения напряжения генератора, питающего цепь. Сохраняется также и синусоидальный характер изменения этих величин.

Рисунок 3. Совпадение по фазе тока и напряжения в цепи с активным сопротивлением

Выясним теперь, каково отличие нагрузки генератора переменного тока активным сопротивлением от нагрузки его индуктивным сопротивлением.

Когда цепь переменного тока содержит в себе лишь одно активное сопротивление, то энергия источника тока поглощается в активном сопротивлении, нагревая проводник.

Когда же цепь не содержит активного сопротивления (мы условно считаем его равным нулю), а состоит лишь из индуктивного сопротивления катушки, энергия источника тока расходуется не на нагрев проводов, а только на создание ЭДС самоиндукции, т. е. она превращается в энергию магнитного поля. Однако переменный ток непрерывно изменяется как по величине, так и по направлению, а следовательно, и магнитное поле катушки непрерывно изменяется в такт с изменением тока. В первую четверть периода, когда ток возрастает, цепь получает энергию от источника тока и запасает ее в магнитном поле катушки. Но как только ток, достигнув своего максимума, начинает убывать, он поддерживается за счет энергии, запасенной в магнитном поле катушки посредством ЭДС самоиндукции.

Таким образом, источник тока, отдав в течение первой четверти периода часть своей энергии в цепь, в течение второй четверти получает ее обратно от катушки, выполняющей при этом роль своеобразного источника тока. Иначе говоря, цепь переменного тока, содержащая только индуктивное сопротивление, не потребляет энергии : в данном случае происходит колебание энергии между источником и цепью. Активное же сопротивление, наоборот, поглощает в себе всю энергию, сообщенную ему источником тока.

Говорят, что катушка индуктивности, в противоположность омическому сопротивлению, не активна по отношению к источнику переменного тока, т. е. реактивна . Поэтому индуктивное сопротивление катушки называют также реактивным сопротивлением .

Кривая нарастания тока при замыкании цепи, содержащей индуктивность - переходные процессы в электрических цепях.

ЦЕПЬ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ И ИНДУКТИВНОСТЬЮ

Цепь, изображенная на рис. 5 -17, обладает активным сопротивлением г и индуктивностью L. Примером такой цепи может служить катушка любого электромагнитного прибора или аппарата.

При прохождении переменного тока i в цепи будет индуктироваться э. д. с. самоиндукции e_L .

Согласно второму правилу Кирхгофа u + e_L = i r

откуда напряжение на зажимах цепи

и = i t — e_L = i r + L ( d i /dt)= ua + u

Первая слагающая u_а = i r называется активным напряжением, мгновенное значение которого пропорционально току, а вторая u_L = — e_L = L( d i /dt) реактивным напряжение м, мгновенное значение которого пропорционально скорости изменения тока.

Если ток изменяется по закону синуса

i — I _м sin ωt

u_а = i r = I _мr sin ωt = U_а _м sin ωt

Рис. 5-17, Цепь с активным сопротивлением и индуктивностью.

Оно изменяется также синусоидально, совпадая по фазе с током.

Амплитудное значение активного напряжения

а действующее значение

U_а = I r,

u_L = L di/dt = ω L I _M cos ωt = U_L_м sin(ωt + π /2)

Оно изменяется синусоидально, опережая по фазе ток на 90°.

Амплитудное значение реактивного напряжения

а действующее значение

U_L = ω L I = x_L I

Напряжение на зажимах цепи

и= и_a + u_L = U_а _м sin ωt + U_L_M sin (ωt + π/2) = U_Msin (ωt + φ).

Напряжение на зажимах изменяется синусоидально, опережая ток по фазе на угол φ.

На рис. 5-18 показаны графики; i , и_a, u_L и и, а на рис. 5-19 — векторная диаграмма цепи. На диаграмме векторы напряжений U, U _a и U _L образуют прямоугольный треугольник напряжений, из которого непосредственно следует со отношение, связывающее эти величины:

U =√(U 2 _a + U 2 _L ) .

Аналогичная зависимость имеет место и для амплитудных значений

Угол сдвига фаз между напряжением на зажимах

Рис 5-18. Графики тока и напряжения в цепи с активным сопротивлением и индуктивностью.

Рис 5 -19. Вектор ная диаграмма це пи с активным сопротивлением и индуктивностью.

цепи и током в ней находится из треугольника напряжений по одной из формул

Чем больше реактивное напряжение по сравнению с ак тивным, тем на больший угол ток отстает по фазе от напря жения на зажимах цепи.

Сопротивления цепи

Уравнение (5-30) можно переписать в следующем виде

U = √( Ir ) 2 + ( Ix_L ) 2 = I √r 2 + x 2 _L = Iᴢ

откуда ток в цепи

I = U/z = U / √ ( r 2 + x 2 _L )

z = √(r 2 + x 2 _L ) = √(r 2 + ωL) 2

называется полным сопротивлением цепи.

Сопротивления r, x_L и z графически можно изобразить сторонами прямоугольного треугольника — треугольника сопротивлении (рис. 5-20), который можно получить из треугольника напряжений, уменьшив каждую из его сторон в I раз.

Так как треугольники сопротивлений и напряжений подобны, то угол сдвига φ между напряжением и током, равный углу между сторонами треугольника z и r, можно определить через

cos φ = U_a /U

Рис 5-20. Треугольник сопротивлений цепи с активным сопротивлением и индуктивностью

Мощности

Мгновенное значение мощности р = u i = U_м sin (ωt + φ) I _м sin ωt = U_м I _м sin (ωt + φ) sin ωt Учитывая, что

sin (со/ + φ) sin ωt = 1/2 cos φ — 1/2 cos (2 ωt + φ)

а также (5-28), можно написать другое выражение ной мощности

Р = U I cos φ — U I cos (2ωt + φ)

Написанное выражение состоит из двух членов: постоянного, независимого от времени UI cos φ и переменного си-

нусоидального U I cos (2ωt + φ). Среднее значение мощности за период, которым обычно пользуются при расчете цепей переменного тока, будет равно постоянному члену UI cos φ , так как среднее значение за период синусоидальной функции равно нулю.

Таким образом, среднее значение мощности цепи равно произведению действующих значений напряжения и тока, умноженному на cos φ , т.е.

P = U I cos φ.

Так как U cos φ = U r/z = I r = U_a,

P = U _а I = I₂r

Следовательно, средняя мощность цепи равна среднему значению мощности в активном сопротивлении. Поэтому среднюю мощность любой цепи называют; еще и активной мощностью.

Реактивная мощность цепи :

Q = U_L I = I 2 x_L = I 2 z sin φ = U I sin φ

т.е. реактивная мощность цепи равна произведению действующих значений напряжения и тока, умножен ному на sin φ .

Рис.5- 21. Т ре угольник мощностей

Полной мощностью цепи называется произведение действующих значений напряжения и тока, т. е.

S = U I

Учитывая, что sin 2 φ + cos 2 φ = 1 можно написать: (U I cos φ ) 2 + (U I sin φ ) 2 = ( U I ) 2

S = √(P 2 + Q 2 )

Мощности Р, Q и S графически можно изобразить сторонами прямоугольного треугольника — тре у го ль ника мощностей (рис 5-21), который можно получить из треугольника напряжений, умножая на I все его стороны.

т.е отношение активной мощности к полной называется коэффициентом мощности.

Единица полной мощности с называется вольт-ампер (в •а).

Необходимость применения понятия полной мощности обусловлена тем, что конструкция, габариты, вес и стоимость машины или аппарата определяются их номинальной полной мощностью S_н = U_н I_н а полная мощность S при том или ином режиме работы их определяет степень их использования.

Катушка индуктивности в цепи переменного тока. Индуктивное сопротивление

В предыдущих статьях рассмотрены цепи переменного тока, содержащие только активное сопротивление и содержащие только емкостное сопротивление.

Сейчас рассмотрим случай, когда в цепи переменного тока находится только катушка индуктивности (индуктивное сопротивление), а активным и емкостным сопротивлениями цепи можно пренебреч ь.

Начнём с опыта , позволяющего понять, когда появляется и от чего зависит индуктивное сопротивление в цепи переменного тока.

Две маленькие одинаковые электрические лампочки подключались к источникам одинакового напряжения. Но одна (правая) подключалась к источнику постоянного тока (аккумуляторной батарее), а другая (левая) - к источнику переменного тока.

Лампочки светили одинаково, так как количество выделяющегося тепла не зависит от того, какой ток протекает по нитям лампочек (постоянный или переменный).

Затем к лампочкам последовательно подключили катушки индуктивности , сделанные из толстой медной проволоки, содержащей большое число витков. Внутри катушек находятся железные сердечники .

Катушками индуктивности называются катушки, имеющие большую индуктивность и малое активное сопротивление (изготовлены из толстой проволоки). Часто активным сопротивлением такой катушки можно пренебречь.

Опыт показал, что в случае постоянного тока лампочка горит ярко , а в случае переменного тока она светит тускло . Как это объяснить?

В случае постоянного тока лампочка горит ярко, потому что сопротивление катушки мало.

Но почему катушка индуктивности очень сильно ослабляет переменный ток? Продолжаем рассматривать опыт.

Если из катушки (рис. б ) постепенно вытягивать железный сердечник, то нить лампочки будет накаляться всё сильнее. При полном вытягивании сердечника лампочка будет светить довольно ярко. Убрав железный сердечник, во много раз уменьшили индуктивность катушки, значит дело в индуктивности.

Так как сила переменного тока быстро меняется, то в катушке возникает ЭДС самоиндукции.

В цепи только с индуктивным сопротивлением приложенное к цепи напряжение в каждый момент времени равно и противоположно ЭДС самоиндукции.

ЭДС самоиндукции по правилу Ленца направлена так, что стремится препятствовать изменению тока, то есть оказывает току сопротивление. Чем больше индуктивность катушки, тем большая ЭДС самоиндукции в ней возникает, тем больше индуктивное сопротивление. Индуктивное сопротивление зависит ещё от частоты тока, чем больше частота, тем больше это сопротивление.

При нарастании тока ЭДС самоиндукции препятствует этому нарастанию, поэтому ток позже достигает максимума , чем в отсутствие самоиндукции.

При убывании тока ЭДС самоиндукции стремится поддерживать ток. Поэтому нулевые значения тока достигаются в более поздний момент, чем в отсутствие самоиндукции.

Таким образом, при наличие индуктивности ток отстаёт по фазе от тока в отсутствие индуктивности, а следовательно, отстаёт по фазе от своего напряжения.

Можно сказать так: из-за явления самоиндукции ток в катушке индуктивности не может меняться скачком и отстаёт от напряжения.

Чем больше частота тока, тем больше будет ЭДС самоиндукции, стремящейся противодействовать изменению тока и тем больше будет сопротивление переменному току.

Индуктивное сопротивление находится по формуле, которая получена теоретически и подтверждена опытом:

Последовательное соединение активного, индуктивного, емкостного сопротивлений. Резонанс напряжений. Коэффициент мощности

Рассмотренные в предыдущих трёх статьях электрические цепи переменного тока. содержащие только активное , только емкостное и только индуктивное сопротивления были взяты для того, чтобы полнее раскрыть свойства перечисленных сопротивлений.

В реальных электрических цепях присутствуют все перечисленные сопротивления: активное, индуктивное, емкостное.

Сейчас будем говорить о цепях, содержащих последовательно соединённые активное сопротивление, катушку индуктивности и конденсатор.

Последовательное соединение активного, индуктивного, емкостного сопротивлений. Резонанс напряжений. Коэффициент мощности

Нам предстоит найти полное сопротивление показанной на рисунке цепи и разность фаз между действующими значениями тока и напряжения в ней.

Мгновенное значение приложенного к цепи напряжения (на зажимах цепи) складывается из мгновенных значений напряжений на каждом сопротивлении, то есть будет равно сумме мгновенных напряжений на активном, индуктивном и емкостном сопротивлениях:

Но действующее значение напряжения на зажимах цепи U не будет равно алгебраической сумме напряжений на каждом участке цепи из-за разности фаз между током и напряжением U на каждом сопротивлении (активном, индуктивном, емкостном).

Для нахождения связи между перечисленными напряжениями удобно пользоваться векторной диаграммой.

Векторная диаграмма - это графическое изображение значений периодически изменяющихся величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков - векторов .

Например, мы знаем, что напряжение на зажимах цепи переменного тока меняется по синусоидальному закону, то есть колебания напряжения сети изображается синусоидой .

Мгновенные значения напряжения внешнего источника можно рассматривать ещё как проекции вектора напряжения U (вектора ОВ) на вертикальную ось при равномерном вращении этого вектора против часовой стрелки.

Точно также векторами можно изобразить переменный ток в цепи, переменные напряжения на активном сопротивлении, на емкостном и индуктивном сопротивлениях.

Колебания перечисленных величин имеют одну частоту , но сдвинуты по фазе относительно друг друга.

Их взаимное расположение со временем не меняется. Тогда все перечисленные вектора можно показать на одной диаграмме.

Действующее значение вектора напряжения внешнего источника U будет равно геометрической сумме векторов напряжений на каждом сопротивлении цепи.

Такое сложение векторов значительно проще сложения синусоид, поэтому векторные диаграммы применяют очень часто.

Ниже рассказано как построена диаграмма, изображённая на рис. 15, которая решает задачу нахождения полного сопротивления рассматриваемой электрической цепи и нахождения сдвига фаз между током и напряжением.

Как видим из формулы закона Ома, полное сопротивление цепи не равно простой сумме активного R и реактивного сопротивлений.

Индуктивное и емкостное напряжения имеют разные знаки - они направлены навстречу друг другу.

Итак, полное сопротивление цепи переменного тока:

Последовательное соединение активного, индуктивного, емкостного сопротивлений. Резонанс напряжений. Коэффициент мощности Последовательное соединение активного, индуктивного, емкостного сопротивлений. Резонанс напряжений. Коэффициент мощности Последовательное соединение активного, индуктивного, емкостного сопротивлений. Резонанс напряжений. Коэффициент мощности

На рис 15 прямоугольный треугольник векторной диаграммы составлен следующими векторами: вектором активного напряжения,

вектором индуктивного напряжения

вектором емкостного напряжения:

и вектором действующего напряжения U стороннего источника .

Из диаграммы, применив закон Пифагора, получим выражение для действующего напряжения:

Если каждое из этих напряжений (рис. 15) разделить на ток, то получим такой же треугольник , составленный сопротивлениями.

Прилежащий к углу катет даёт активное сопротивление цепи R , противолежащий катет - общее реактивное сопротивление цепи X , а гипотенуза треугольника даёт полное сопротивление цепи Z , состоящей из последовательно соединённых активного, индуктивного и ёмкостного сопротивлений..

Из представленного треугольника сопротивлений получаем соотношение:

то есть сдвиг фаз (угол фи) между током и напряжением в цепи определяется отношением реактивного сопротивления цепи к её активному сопротивлению.

Возможны следующие случаи :

Когда индуктивное сопротивление больше емкостного, то есть когда в цепи преобладает индуктивность , то ток отстаёт от напряжения на угол "фи".

Когда индуктивное сопротивление меньше емкостного, то есть когда в цепи преобладает емкостное сопротивление, то ток опережает напряжения на угол "фи".

Из треугольника сопротивлений получаем ещё такое выражение:

определяется отношением активного сопротивления цепи к её полному сопротивлению. Его называют коэффициентом мощности .

Значение коэффициента мощности определяет активную (полезную) мощность цепи.

Посмотрим, как получают выражение для мощность цепи переменного тока.

Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока, которые выражаются формулами:

Взяв произведение мгновенных значений тока и напряжения и проанализировав полученное выражение, придём к выводу, что мощность может быть как положительной (когда энергия от источника поступает в цепь), так и отрицательной (когда уходит из цепи в источник).

Практически важно знать среднюю за период мощность, так как только средняя мощность характеризует энергию, потребляемую цепью за единицу времени.

После математических преобразований получается следующее выражение для средней мощности , которую можно называть просто мощностью цепи:

то есть мощность электрической цепи переменного тока равна произведению действующих значений напряжения и силы тока на косинус угла между током и напряжением ,

Косинус сдвига фаз между током и напряжением назвали коэффициентом мощности .

Видим, что коэффициент мощности оказывает очень большое влияние на мощность электрической цепи.

Коэффициент мощности достигает максимального значения, равного единице, при угле "фи" (сдвиге фаз) равном нулю или когда индуктивное сопротивление равно емкостному сопротивлению:

При этом условии цепь переменного тока имеет минимальное сопротивление, равное активному сопротивлению цепи.

Ток же в цепи в этом случае достигает максимального значения (явление резонанса ).

Приложенное к цепи напряжение U равно активному напряжению (напряжению на активном сопротивлении R ).

Но при этом есть и индуктивное напряжение и равное ему по модулю, но противоположное по направлению (сдвинутое по фазе на половину периода) емкостное напряжение.

Причём они могут достигать достаточно больших значений, гораздо больших, чем напряжение сети U. Реактивные напряжения (индуктивное, емкостное) будут превышать напряжение сети U во столько раз, во сколько раз реактивные сопротивления (индуктивное, емкостное) будут больше активного сопротивления R .

Поэтому рассмотренное явление резонанса называется резонансом напряжений .

При резонансе мгновенные мощности в реактивных участках цепи (в катушке индуктивности и конденсаторе) равны и противоположны по знаку. Это значит, что увеличение энергии магнитного поля в катушке индуктивности происходит в результате уменьшения электрической энергии запасённой в конденсаторе, и наоборот, а энергия генератора расходуется только на активном сопротивлении.

Для электрической цепи промышленного тока резонанс вреден , так как может привести к пробою изоляции катушки и конденсатора.

По этой причине коэффициент мощности на предприятиях поднимают до 0,9 - 0,95, чтобы получить большую мощность, но чтобы не получить явление резонанса.

Какие меры применяются для повышения коэффициента мощности на промышленных предприятиях будет сказано позднее.

В цепь переменного тока (120В, 50 Гц) последовательно включены катушка с активным сопротивлением 3 Ом и индуктивным сопротивлением 4 Ом и конденсатор. При какой ёмкости конденсатора наступит резонанс напряжений? Какими будут при этом ток в цепи, активное, индуктивное и емкостное напряжения?

§51. Индуктивность в цепи переменного тока

Ток, напряжение и э. д. с. самоиндукции. При включении в цепь пременного тока индуктивности (катушки индуктивности, потерями в которой можно пренебречь) (рис. 178, а) изменяющийся ток непрерывно индуцирует в ней э. д. с. самоиндукции

e_L = -L ?i / ?t (68)

где ?i/?t— скорость изменения тока.

Рассматривая график изменения силы тока i (рис. 178,б), можно установить, что скорость его изменения ?i/?t будет наибольшей в моменты времени, когда угол ? равен 0; 180 и 360°. Следовательно, в эти минуты времени э. д. с. имеет наибольшее значение. В моменты времени, когда угол ?t равен 90° и 270°, скорость изменения тока ?i/?t = 0 и поэтому э. д. с. e_L = 0.

Э. д. с. самоиндукции е согласно правилу Ленца направлена так, чтобы препятствовать изменению тока. Поэтому в первую четверть периода, когда ток i увеличивается, э. д. с. e_L имеет отрицательное значение (направлена против тока); во вторую четверть периода, когда ток i уменьшается, э. д. с. e_L имеет положительное значение (совпадает по направлению с током). В третью четверть периода ток i изменяет свое направление и увеличивается, поэтому э. д. с. самоиндукции e_L направлена против тока и имеет положительное значение. В четвертую четверть периода ток i уменьшается и э. д. с. самоиндукции e_L стремится поддержать прежнее направление тока, т. е. имеет отрицательное значение. Таким образом, э. д. с. самоиндукции e_L отстает по фазе от тока i на угол 90°.

Так как в цепи, куда включена индуктивность L, отсутствует активное сопротивление (рассматривается идеальная катушка индуктивности), то по второму закону Кирхгофа u+e_L=0, т. е. u = -e_L Следовательно, напряжение источника всегда равно по величине и противоположно по направлению э. д. с. самоиндукции.

Из рассмотрения кривых (см. рис. 178,б) видно, что кривая напряжения и сдвинута относительно кривой силы тока i на четверть периода, т. е. на угол 90°. При этом напряжение достигает наибольших и нулевых значений раньше, чем ток. Следовательно,

Рис. 178. Схема включения в цепь переменного тока индуктивности (а), кривые тока I, напряжения и, э.д.с. e_L (б) и векторная диаграмма (в)

при включении в цепь переменного тока индуктивности ток i отстает по фазе от напряжения и на угол 90° или, что то же самое, напряжение и опережает ток по фазе на угол 90° (рис. 178, в).

Индуктивное сопротивление. Сопротивление катушки или проводника переменному току, вызванное действием э. д. с. самоиндукции, называется индуктивным сопротивлением. Оно обозначается X_L и измеряется в омах. Физическая природа индуктивного сопротивления совершенно другая, чем активного. Э. д. с. самоиндукции e_L направлена против приложенного напряжения u, которое заставляет изменяться ток; согласно закону Ленца она препятствует изменению тока i, т. е. оказывает прохождению переменного тока определенное сопротивление.

Чем большая э. д. с. самоиндукции e_L индуцируется в проводнике (катушке), тем большее они имеют индуктивное сопротивление X_L. Э. д. с. самоиндукции согласно формуле (68) прямо пропорциональна индуктивности L и скорости изменения тока ?i/?t, т. е. частоте его изменения f (значению ?). Поэтому индуктивное сопротивление

Следовательно, индуктивное сопротивление не зависит от материала, из которого изготовлен проводник (катушка), и от площади поперечного сечения проводника.

Закон Ома для цепи с индуктивностью

Электрическая мощность. Рассмотрим, как изменяется электрическая мощность в цепи переменного тока с индуктивностью. Мгновенное значение мощности р, равное произведению мгновенных значений силы тока i и напряжения и, можно получить графическим путем, перемножая ординаты кривых тока и напряжения при различных углах ?t. Кривая мгновенной мощности р (рис. 179, а) представляет собой синусоиду, которая изменяется с двойной частотой 2? по сравнению с частотой изменения тока i и напряжения и.

При рассмотрении этой кривой видно, что мощность р может иметь положительные и отрицательные значения. В течение первой четверти периода ток и напряжение положительны и мощность p = ui также положительна. Во второй четверти периода ток положителен, а напряжение отрицательно; следовательно, мощность р будет отрицательна. В течение третьей четверти периода мощность снова становится положительной, а в течение четвертой четверти — отрицательной.

Понятие положительной и отрицательной электрической мощности физически определяет направление потока энергии. Положительный знак мощности означает, что электрическая энергия W передается от источника к приемнику; отрицательный знак мощности означает, что электрическая энергия W переходит от приемника к источнику. Следовательно, при включении в цепь переменного тока индуктивности возникает непрерывный колебательный процесс обмена энергией между источником и индуктивностью, при котором не создается никакой работы. В первую и третью четверти периода мощность положительна, т. е. индуктивность получает энергию W от источника (см. стрелки W) и накапливает ее в своем магнитном поле. Во вторую и четвертую четверти периода индуктивность отдает накопленную энергию W источнику. При этом протекание по цепи тока поддерживается благодаря действию э.д. с. самоиндукции e_L.

Таким образом, в целом за период в индуктивное сопротивление не поступает электрическая энергия (на это указывает то, что среднее значение мощности за период равно нулю). Для того чтобы подчеркнуть указанную особенность индуктивного сопротивления, его относят к группе реактивных сопротивлений, т. е. сопротивлений, которые в цепи переменного тока в целом за период не потребляют электрической энергии. Следует отметить, что в реальные катушки индуктивности поступает некоторая энергия от источника переменного тока из-за наличия активного сопротивления проводов, из которых выполнены эти катушки. Эта энергия превращается в тепло.

Рис. 179. Кривые тока i, напряжения u и мощности р при включении в цепь переменного тока катушки индуктивности (а) и конденсатора (б)

Рис. 180. Последовательное (а) и параллельное (б) соединения катушек индуктивности

Так как среднее значение мощности в цепи с индуктивностью равно нулю, для характеристики процесса обмена энергией между источником и индуктивностью введено понятие реактивной мощности индуктивности:

где U_L — напряжение, приложенное к индуктивности L (действующее значение).

Реактивная мощность измеряется в варах (вар) и киловарах (квар). Наименование единицы происходит от первых букв слов вольт-амперреактивный. Реактивную мощность можно выразить также в виде

Q_L = U 2 L/X_L или Q_L = I 2 X_L

Способы соединения катушек индуктивности. В цепях переменного тока приходится соединять катушки индуктивности последовательно и параллельно.
При последовательном соединении катушек индуктивности эквивалентная индуктивность L_эк равна сумме индуктивностей; например, при трех катушках с индуктивностями L₁, L₂ и L₃ (рис. 180, а)

В этом случае эквивалентное индуктивное сопротивление

При параллельном соединении катушек индуктивности (рис. 180,б) для эквивалентной индуктивности имеем:

Читайте также: