Электрический потенциал внутри полой сферы
Обновлено: 03.05.2024
Электростатика в вакууме и веществе
· Принцип суперпозиции: результирующая сила , действующая на пробный заряд равна геометрической сумме сил (рис.11).
 Рис. 11. Система точечных зарядов | . |
· Напряженность электрического поля в точке
Единица измерения напряженности вольт на метр (В/м).
· Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей
В случае наложения двух электрических полей с напряженностями и модуль вектора напряженности определяется по теореме косинусов:
· Графическое изображение электростатического поля: в наглядной форме электростатическое поле принято изображать графически с помощью линий напряженности электростатического поля (рис. 12).
На рис. 3 представлены линии напряженности поля:
а) линия напряженности (силовая линия) – линия, проведенная в электростатическом поле так, что вектор напряженности в каждой ее точке направлен по касательной к этой линии;
б) положительного точечного заряда;
в) отрицательного точечного заряда;
г) двух разноименных зарядов (диполя).
Рис. 12. Линии напряженности
· Поток вектора напряженности электрического поля
а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле
 Рис. 13. Поток вектора напряженности через поверхность S |  Рис. 14. Поток вектора напряженности через плоскую поверхность dS |
б) через плоскую поверхность (рис. 14), помещенную в однородное электрическое поле
Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность
где интегрирование ведется по всей поверхности.
· Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от заряда
· Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы:
а) внутри сферы (r < R)
б) на поверхности сферы (r = R)
в) вне сферы (r > R)
· Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром, рис. 15) на расстоянии r от ее оси
 Рис. 15. Бесконечно длинная равномерно заряженная нить | , где – линейная плотность заряда, Кл/м. |
· Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по нити, к длине нити:
· Напряженность поля, создаваемой бесконечной равномерно заряженной плоскостью (рис. 16)
· Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности:
 Рис. 17. Поле, образованное двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями | . |
· Потенциал электростатического поля
где T – потенциальная энергия точечного заряда, помещенного в данную точку поля, при условии, что его потенциальная энергия в бесконечности принята равной нулю. Единица измерения потенциала вольт (В).
· Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля: проекция вектора напряженности электростатического поля El на любое направление l в пространстве равна убыли потенциала на единице длины вдоль этого направления
· Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом q на расстоянии r от заряда .
· Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей заряд q сферой радиусом R, на расстоянии r от центра сферы (рис. 18):
 Рис. 18. Равномерно заряженная металлическая сфера | а) внутри сферы (r < R) ; б) на поверхности сферы (r = R) ; в) вне сферы (r > R) . |
· Электрическая емкость уединенного проводника
Единица измерения емкости фарад (Ф).
где – разность потенциалов на обкладках конденсатора.
· Электрическая емкость плоского конденсатора
· Электрическая емкость последовательно соединенных конденсаторов
где n – число конденсаторов;
в случае двух конденсаторов .
· Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов
в случае двух конденсаторов .
· Энергия заряженного проводника
· Энергия заряженного конденсатора
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. В центре полой проводящей незаряженной сферы помещен точечный заряд q0.
1) Где и какие электрические поля будут существовать?
2) Будут ли появляться заряды на сфере?
3) Будут ли происходить изменения электрического поля внутри и вне сферы при перемещении заряда внутри сферы?
4) Как будет меняться поле внутри и вне сферы, если заряд останется неподвижным, а внешнюю поверхность сферы заземлить на короткое время, а затем заряд осторожно вывести из полости сферы, не касаясь ее, через маленькое отверстие?
5) Где и какие заряды на сфере будут существовать, если точечный заряд поднести снаружи к незаряженной сфере?
Решение: Внутри полой проводящей сферы будет существовать поле, определяемое по формуле для поля точечного заряда . На внутренней поверхности сферы наведется заряд –q0, который расположен равномерно по внутренней поверхности. Так как сфера нейтральна, на ее внешней поверхности равномерно расположен заряд +q0. Внутри металлического слоя поле равно нулю. Вне сферы поле определяется зарядом +q0 по формуле для поля точечного заряда рис. 19 (а)
 |  |  |
| Рис. 19 |
При перемещении заряда внутри сферы изменяется электрическое поле внутри сферы, изменяется распределение отрицательного заряда на внутренней поверхности сферы рис. 19 (б).
Однако распределение положительного заряда на внешней поверхности сферы, а следовательно, и поле вне сферы изменяться не будет. Это связано с тем, что поле внутри металлического слоя равно нулю, поэтому изменение поля внутри сферы не влияет на распределение зарядов на ее внешней поверхности.
При заземлении на некоторое время внешней поверхности сферы все положительные заряды «уйдут» в землю (на самом деле из поверхности земли, которая является хорошим проводником, на внешнюю поверхность сферы придут электроны, которые компенсируют ее положительный заряд). В этом случае внутри сферы поле будет существовать, а вне ее поле равно нулю рис. 19 (в). После выведения заряда q0 из полости сферы отрицательные заряды начнут расталкиваться до тех пор, пока не распределяться равномерно на внешней поверхности сферы. В этом случае поле внутри сферы равно нулю, а вне сферы существует электрическое поле, подобное полю точечного заряда -q0, помещенного в центре сферы рис. 19 (г).
 |  |
| Рис. 19 |
Если же заряд q0 поднести к сфере снаружи, то на внешней поверхности сферы образуется наведенный (индуцированный) заряд, который распределен, как показано на рис. 19 (д). Вне сферы результирующее поле определяется суммой полей заряда q0 и индуцированных зарядов. Внутри сферы поле равно нулю.
Решение: По принципу суперпозиции электростатических полей имеем:
Так как вектора и направлены по одной прямой в одну сторону, то величину ЕА можно найти как сумму
где r = расстояние от нити.
Подставим исходные данные и произведем вычисления:
Таким образом, , следовательно, на расстояниях r < b от нитей возможен пробой воздуха.
Пример 3. В трех вершинах квадрата со стороной a = 40 см находятся одинаковые положительные заряды по q1 = q2 = q3 = 5·10 -9 Кл каждый. Найти напряженность E поля в четвертой вершине.
Решение: По принципу суперпозиции электрических полей (рис. 20) для точки А находим:
где – напряженности полей, созданных зарядами q1, q2, q3 соответственно в точке А. Запишем уравнение (1) в проекциях на выбранные направления:
Рис. 20. Графическое изображение системы зарядов
и подставляя эти выражения в уравнения (2), найдем:
Подставив числовые данные, получим
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, потенциал электрического поля, создаваемого заряженным цилиндром (стержнем) в точке 2 найдем интегрированием этого выражения
Подставляя данные, получим
Решение: После того как между обкладками конденсатора поместили диэлектрическую пластинку, его можно рассматривать как батарею последовательно соединенных конденсаторов: первый – заполненный диэлектриком с емкостью , второй – воздушный с емкостью , расстояния между обкладками в каждом d/2 ( d – расстояние между обкладками конденсатора).
Общая емкость батареи определится правилом последовательного соединения конденсаторов: .
Емкости С1 и С2 можно выразить через первоначальную емкость плоского воздушного конденсатора ; ; .
Отсюда общая емкость батареи будет равна: .
Решение: Емкость шара определим по формуле .
Радиус шара можно определить из формулы его объема .
Теперь воспользуемся формулой плотности и подставим в нее значение для объема: , откуда .
Подставим это выражение в формулу для емкости, тем самым ответив на вопрос задачи:
Потенциал определим из формулы емкости проводника:
| Решение: Электрон в плоском конденсаторе будет двигаться по параболе (рис. 22), подобно горизонтально брошенному телу в поле силы тяжести. Траекторию электрона можно спроецировать на оси X и Y по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Ось X – горизонтально, ось Y – вертикально вниз. На электрон в конденсаторе действует постоянная сила F = eE, направленная вдоль |  Рис. 22. Движение электрона в плоском конденсаторе |
Чтобы электрон не вылетел из конденсатора, надо, чтобы ,
где d – расстояние между пластинами конденсатора.
Подставляя данные, получим предельную начальную скорость для электрона
Решение: Кабель можно рассматривать как цилиндрический конденсатор.
Электрическое поле и его характеристики
Пылинка, имеющая массу 10 −6 кг, влетела в однородное электрическое поле в направлении против его силовых линий с начальной скоростью 0,3 м/с и переместилась на расстояние 4 см. Каков заряд пылинки, если её скорость уменьшилась при этом на 0,2 м/с, а напряжённость поля 105 В/м?
s = v 2 0 − v 2 2 a . . = v 2 0 − ( v 0 − Δ v ) 2 2 a . .
a = v 2 0 − ( v 0 − Δ v ) 2 2 s . .
F K = m v 2 0 − ( v 0 − Δ v ) 2 2 s . .
q 0 = m v 2 0 − ( v 0 − Δ v ) 2 2 s E . .
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
В однородном электрическом поле, вектор напряжённости которого направлен горизонтально, на шёлковых нитях одинаковой длины подвешены два шарика, заряды которых одинаковы. Масса первого шарика больше массы второго. Какое из утверждений правильно?
а) Угол отклонения нити первого шарика больше угла отклонения второго.
б) Угол отклонения нити первого шарика меньше угла отклонения второго.
в) Углы отклонения нитей шариков одинаковы.
г) Шарики не отклоняются от вертикали.
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
На рисунке изображены линии напряжённости однородного электростатического поля. Как изменяется потенциал этого поля при перемещении из точки A в точку B, если отрезок АВ перпендикулярен линиям напряжённости?
Электростатическое поле точечного заряда и заряженной сферы
φ = W p q o . . = ± k Q q 0 r q 0 . . = ± k Q r . .
E = k Q r 2 . . = k Q ( R + a ) 2 . .
Два неподвижных точечных заряда действуют друг на друга с силами, модуль которых равен F. Чему станет равен модуль этих сил, если один заряд увеличить в n раз, другой заряд уменьшить в n раз, а расстояние между ними оставить прежним?
F K = k | q 1 | | q 2 | r 2 . .
F K 1 = k | q 1 | | q 2 | r 2 . .
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
В трёх вершинах квадрата размещены точечные заряды: +q, – q, +q (q >0) (см. рисунок). Куда направлена кулоновская сила, действующая со стороны этих зарядов на точечный заряд +2q, находящийся в центре квадрата?
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
На неподвижном проводящем уединённом шарике радиусом R находится заряд Q. Точка O – центр шарика, OA = 3R/4, OB = 3R, OC = 3R/2. Модуль напряжённости электростатического поля заряда Q в точке C равен EC. Определите модуль напряжённости электростатического поля заряда Q в точке A и точке B?
Установите соответствие между физическими величинами и их значениями.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
E = k Q r 2 . . = k Q ( R + a ) 2 . .
E B = k Q r 2 . . = k Q ( 3 R ) 2 . . = k Q 9 R 2 . .
Читайте также: