Чему равен сдвиг фаз между напряжением и током в цепи с активным сопротивлением
Обновлено: 05.05.2024
Чему равен сдвиг фаз между напряжением и током в цепи с активным сопротивлением
Широкое использование синусоидального переменного тока в технике и народном хозяйстве связано со многими его преимуществами, в частности с удобством его преобразования с помощью трансформаторов и с исключительной простотой повсеместно применяемых асинхронных двигателей.
Почему из всех возможных форм периодических переменных токов наибольшее распространение получили переменные токи именно синусоидальной формы? Дело в том, что синусоидальные токи по сравнению со всеми другими токами позволяют наиболее просто и экономично осуществлять передачу, распределение, преобразование и использование электрической энергии.
§ 22. Цепи переменного тока. Закон Ома
Только в случае синусоидальных токов сохраняются неизменными формы кривых зависимости от времени напряжения и токов на всех участках линейной электрической цепи, т. е. цепи, содержащей резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности. В цепи, содержащей нелинейные элементы — диоды, транзисторы, электронные лампы и т. п. — форма этих кривых не сохраняется при любой, в том числе и синусоидальной, зависимости от времени подаваемого напряжения.
Прямоугольные импульсы в RС-цепочке. Рассмотрим следующую простую линейную цепь, состоящую из конденсатора С и резистора R (рис. 135). Посмотрим, что будет на выходе этой цепи, если на ее вход подавать напряжение в виде прямоугольных импульсов.
Рис. 135. RС-цепочка
Начало каждого прямоугольного импульса соответствует подключению к цепи источника постоянного напряжения на время, равное длительности импульса. При этом в цепи скачком возникает ток, который постепенно уменьшается по мере того, как конденсатор заряжается.
Время, в течение которого продолжается процесс зарядки конденсатора, определяется произведением Если это время меньше длительности подаваемого на вход прямоугольного импульса, то ток
Рис. 136. Преобразование прямоугольных импульсов напряжения RC-цепочкой
зарядки прекратится раньше, чем закончится прямоугольный импульс. Именно этот случай изображен на рис. 136.
В момент прихода заднего фронта прямоугольного импульса подаваемое напряжение скачком обращается в нуль. Но этого можно добиться только путем короткого замыкания входных клемм схемы. Цепь, содержащая и С, становится короткозамкнутой, и конденсатор С разряжается через сопротивление Направление тока разрядки противоположно зарядному току, поэтому выходное напряжение на сопротивлении имеет противоположную полярность (рис. 136).
Таким образом, форма выходного напряжения оказывается совершенно иной, чем форма входного напряжения.
Синусоидальное напряжение в RC-цепочке. Посмотрим теперь, что получится, если на вход той же -цепочки подать синусоидальное напряжение
Будем считать, что это напряжение действует в течение достаточно большого по сравнению с промежутка времени, так что все переходные процессы к рассматриваемому моменту уже закончились. Тогда ток в цепи будет изменяться по синусоидальному закону с той же частотой со, причем между приложенным напряжением и током будет некоторый сдвиг по фазе.
Рис. 137. Изменяющаяся по синусоидальному закону величина может быть представлена как проекция вращающегося вектора длины
Чтобы найти амплитуду этого тока и сдвиг по фазе, воспользуемся тем обстоятельством, что мгновенное значение любой изменяющейся по синусоидальному закону величины можно представить как проекцию вектора длиной на некоторое заранее выбранное направление, причем сам вектор равномерно вращается в плоскости с угловой скоростью равной циклической частоте, а длина вектора равна амплитудному значению соответствующей величины (рис. 137). С помощью такого представления каждой исследуемой схеме можно сопоставить определенную векторную диаграмму.
Векторные диаграммы. В -цепочке, показанной на рис. 135, сумма мгновенных значений напряжений на конденсаторе С и резисторе равна значению приложенного напряжения в тот же момент времени:
Если цепочка не нагружена, т. е. к выходу ничего не подключено, то сила тока через конденсатор С и резистор в каждый момент времени одинакова. Этой схеме можно сопоставить векторную диаграмму, изображенную на рис. 138а.
Рис. 138. Векторная диаграмма для -цепочки (а) и графики входного и выходного напряжений (б)
Вся система векторов вращается как целое против часовой стрелки с угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка.
Поскольку ток в цепи находится в фазе с напряжением и опережает на напряжение на емкости то при выбранном направлении вращения векторы направленные в одну сторону, опережают на вектор Очевидно, что вектор изображающий приложенное напряжение должен быть равен, как видно из (2), векторной сумме Из рис. 138 видно, что
Используя связь между амплитудным значением силы тока и амплитудными значениями напряжений на резисторе и конденсаторе
с помощью (3) находим
Если приложенное напряжение дается формулой (1), то сила тока в цепи определяется выражением
где и определяются формулами (4). Это значит, что выходное напряжение (рис. 135), совпадающее с напряжением на резисторе как и подаваемое напряжение будет синусоидальным, но опережающим его по фазе на угол Из второй формулы (4) следует, что этот сдвиг по фазе зависит не только от соотношения между С и но и от частоты входного напряжения.
Подчеркнем еще раз, что для сохранения формы передаваемого напряжения необходимо использовать именно синусоидальный переменный ток.
Проиллюстрированный на примере -цепочки метод векторных диаграмм можно применять для исследования любых линейных цепей переменного тока.
Последовательная RLC-цепь. Рассмотрим произвольную последовательную цепь переменного тока, содержащую активное сопротивление емкость С и индуктивность (рис. 139). Будем считать, что на вход этой цепи подано синусоидальное напряжение, даваемое формулой (1). В последовательной цепи квазистационарного переменного тока сила тока I в каждый момент времени во всех участках цепи одинакова. Сумма мгновенных значений напряжений на сопротивлении емкости С и индуктивности равна значению приложенного напряжения в тот же момент времени:
Рис. 139. Последовательная RLC цепь
Этой схеме можно сопоставить векторную диаграмму, изображенную на рис. 140а. Каждой величине — току напряжениям на сопротивлении емкости С и индуктивности — сопоставляются векторы, длина каждого из которых равна амплитудному значению соответствующей величины. Вся система векторов вращается как целое с угловой скоростью со. Мгновенные значения величин получаются проецированием соответствующих векторов на заранее выбранное фиксированное направление Поскольку, как мы видели, ток в цепи изменяется в фазе с напряжением отстает на от напряжения на индуктивности и опережает на напряжение на емкости то при указанном направлении вращения вектор опережает векторы на которые в свою очередь опережают на вектор
Вектор, изображающий приложенное напряжение, равен сумме векторов так как проекция результирующего вектора, которая определяет мгновенное значение приложенного напряжения равна сумме проекций составляющих векторов, равных мгновенным значениям напряжений и в полном соответствии с
равенством (6) (рис. 1406). Из этого рисунка видно, что
Используя связь между амплитудным значением тока и амплитудными значениями напряжений на отдельных элементах цепи:
с помощью (7) получаем
Итак, если приложенное напряжение то ток в цепи где определяются формулами (8) и (9). Ток в цепи, как и напряжение, меняется по синусоидальному закону, но между током и напряжением существует сдвиг по фазе, равный
С помощью векторной диаграммы на рис. 1406 теперь легко написать выражения для мгновенных напряжений на отдельных элементах схемы:
Выясним, что покажет вольтметр, если его подключить к какому-либо из элементов схемы.
Рис. 140. Векторная диаграмма для последовательной RLC-цепи (а); к определению связи между приложенным напряжением и током в цепи (б)
Произведя измерения напряжений на всех элементах схемы по отдельности, можно убедиться, что сумма этих напряжений всегда больше действующего значения подаваемого на схему напряжения. Более того, напряжение на любом из реактивных сопротивлений может быть гораздо больше подаваемого напряжения. Напряжение же на активном сопротивлении никогда не бывает больше подаваемого напряжения.
Резонанс напряжений. Если при измерении напряжений на реактивных элементах напряжения окажутся равными друг другу, то это значит, что равны реактивные сопротивления: Такую ситуацию называют резонансом напряжений в цепи переменного тока. При этом напряжение на активном сопротивлении равно приложенному внешнему напряжению. Сопротивление всей последовательной цепи при резонансе напряжений становится чисто активным и равным R. Сдвиг фаз между приложенным напряжением и током в этом случае отсутствует.
Рис. 141. Параллельное соединение и С
При резонансе напряжений дважды за период колебаний происходят взаимные превращения энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Энергия, подводимая к контуру из внешней цепи, целиком идет на компенсацию джоулевых потерь в активном сопротивлении контура.
Параллельная RLC-цепь. Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно соединенные активное сопротивление индуктивность и емкость С (рис. 141), на которую подается переменное синусоидальное напряжение Как и в случае последовательного соединения элементов, эту цепь удобно исследовать с помощью векторных диаграмм. Напряжение на всех параллельно соединенных элементах одинаково и равно приложенному напряжению Мгновенное значение квазистационарного тока в неразветвленной части цепи равно алгебраической сумме токов в параллельных участках:
Рис. 142. Векторная диаграмма для параллельной RLC-цепи
Поскольку ток через сопротивление находится в фазе с приложенным напряжением, ток в ветви, содержащей емкость, опережает напряжение на а ток через индуктивность отстает от напряжения на то векторная диаграмма, соответствующая этой цепи, имеет вид, изображенный на рис. 142. Учитывая связь между амплитудными значениями токов в различных элементах и амплитудным значением приложенного напряжения:
с помощью векторной диаграммы на рис. 142 получаем следующие выражения для амплитуды тока в неразветвленной части цепи и для
сдвига по фазе между приложенным напряжением и этим током:
Таким образом, ток в неразветвленной части цепи равен где определяются формулами (11) и (12). Векторная диаграмма дает также возможность написать выражение для мгновенных значений тока в отдельных ветвях цепи:
Резонанс токов. При равенстве емкостного и индуктивного сопротивлений, т. е. при сдвиг фаз между током в неразветвленной части цепи и напряжением обращается в нуль. Токи и
11 при этом равны по величине, и так как они находятся в противофазе, то ток в неразветвленной части становится равным току через активное сопротивление.
Заметим, что токи и в отдельных ветвях цепи могут значительно превосходить ток в проводящих проводах. Такая ситуация носит название резонанса токов. При этом, как и в последовательной .-цепи при резонансе напряжений, происходит обмен энергией между электрическим и магнитным полями, сосредоточенными в емкости и индуктивности, а источник питания только компенсирует потери энергии за счет выделения джоулевой теплоты на сопротивлении Если сопротивление вообще убрать из цепи то энергетические потери в такой идеализированной схеме отсутствуют и ток в подводящих проводах равен нулю, хотя в контуре, состоящем из и С, ток может быть сколь угодно большим. В этом случае на резонансной частоте полное реактивное сопротивление контура неограниченно возрастает.
Резонанс токов, наряду с резонансом напряжений, широко используется в технике. В качестве примера можно указать на использование резонансных свойств RLC-цепи для выделения сигнала нужной частоты в антенне радиоприемника при настройке на определенную радиостанцию. Другим важным примером использования резонанса токов является индукционная печь, в которой нагревание и плавление металлов производятся вихревыми токами. Параллельно нагревающей катушке, в которую помещается разогреваемый металл, присоединяют конденсатор и подбирают его емкость так, чтобы получить на частоте питающего генератора резонанс токов. Тогда через подводящие провода и генератор пойдет сравнительно небольшой ток, который может быть во много раз меньше тока в -контуре, образованном конденсатором и нагревающей катушкой.
• В чем заключаются достоинства переменного тока синусоидальной формы?
• Как преобразуются прямоугольные импульсы -цепочкой? Рассмотрите случай, когда длительность импульсов много больше и когда она много меньше .
• Поясните идею метода векторных диаграмм для расчета цепей синусоидального переменного тока?
• Поясните, почему на векторной диаграмме на рис. 137 вектор, изображающий приложенное напряжение, равен сумме векторов, изображающих напряжения на сопротивлении и емкости С.
• Рассмотрите последовательную -цепочку и постройте соответствующую ей векторную диаграмму. Найдите сдвиг фаз между приложенным напряжением и током в цепи. Будет ли ток отставать от напряжения или опережать его?
• Если в общей формуле (9) для последовательной -цепи положить , то для сдвига фаз получается выражение, отличающееся знаком от формулы (4) для RC-цепи. Как по-вашему, с чем связано это различие?
• При каких соотношениях между параметрами последовательной RLC-цепи ток в ней опережает по фазе приложенное напряжение, а при каких — отстает от него?
• Поясните, почему на векторной диаграмме для параллельной RLC-цепи складываются токи, а не напряжения?
• Что такое резонанс напряжений и резонанс токов? Какие энергетические превращения при этом происходят в цепи?
• Можно ли применять векторные диаграммы для нахождения тока сразу после приложения переменного напряжения?
Закон Ома. Закон Ома — это утверждение о пропорциональности между током и напряжением в цепи.
Рассмотрим для простоты участок цепи, содержащий последовательно соединенные резистор конденсатор С и катушку индуктивности Такая цепь была подробно рассмотрена выше. Как было показано, вид закона Ома имеет только соотношение между амплитудными значениями тока и напряжения в цепи:
Наличие определенного сдвига по фазе между током и напряжением приводит к тому, что мгновенные значения тока и напряжения не пропорциональны друг другу и мы не можем с помощью вещественных чисел представить ток в цепи как отношение приложенного напряжения к сопротивлению.
Однако это можно легко сделать, используя комплексные числа. Разумеется, ток, напряжение и сопротивление цепи, как и любые другие измеряемые на опыте физические величины, должны выражаться вещественными числами. Мгновенные значения
интересующих нас физических величин получаются в результате проецирования векторной диаграммы, изображенной на рис. 140. Но вектор на плоскости можно задать с помощью комплексного числа. Будем фиксировать мгновенное значение каждого из вращающихся векторов на рис. 140 заданием некоторого комплексного числа. В частности, вектору, изображающему ток, сопоставим комплексное число вектору, изображающему напряжение, — комплексное число Поскольку угол между этими вращающимися векторами постоянен, комплексные числа сопоставляемые этим векторам, можно связать равенством где — некоторое постоянное комплексное число.
Это соотношение формально имеет вид закона Ома для участка цепи, причем комплексное число как-то характеризует сопротивление этого участка цепи переменному току. Найдем вид этого числа. Запишем выражения для и в тригонометрической форме:
и учтем, что разность аргументов этих комплексных чисел равна постоянному сдвигу фаз между напряжением и током. Используя равенства (14) и правило деления комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, получим
Таким образом, модуль комплексного числа как видно из выражений (13) и (15), равен
а его аргумент представляет собой сдвиг фаз между напряжением и током и определяется формулой (9). Переходя от тригонометрической к алгебраической форме комплексного числа и учитывая, что
получаем для выражение
Комплексное число полностью характеризует сопротивление рассматриваемого участка цепи синусоидальному переменному току с частотой со. Оно носит название комплексного сопротивления или импеданса цепи. Зная легко найти амплитуду тока и сдвиг по фазе между напряжением и током.
Формула (16) показывает, что импеданс последовательной цепи можно получить, если элементам схемы и С сопоставить комплексные сопротивления переменному току по следующему правилу:
после чего сложить эти «сопротивления» по правилу сложения сопротивлений в последовательной цепи.
Полученный рецепт имеет совершенно общий характер и справедлив для любой разветвленной цепи: всем элементам сопоставляются комплексные сопротивления по правилу (17), которые затем складываются по правилам для цепей постоянного тока.
Отметим, что формулы (14) и (15) можно записать компактнее, если воспользоваться формулой Эйлера
При этом, очевидно, и
• Сформулируйте основную идею использования комплексных чисел для анализа цепей синусоидального переменного тока.
• Сформулируйте правила расчета произвольной разветвленной цепи, содержащей RLC-элементы.
• Рассмотрите с помощью комплексных чисел параллельную RLC-цепь и получите формулы (11) и (12).
Сдвиг фаз переменного тока и напряжения
Мощность постоянного тока, как мы уже знаем, равна произведению напряжения на силу тока. Но при постоянном токе направления тока и напряжения всегда совпадают. При переменном же токе совпадение направлений тока и напряжения имеет место только в случае отсутствия в цепи тока конденсаторов и катушек индуктивности.
Для этого случая формула мощности
На рисунке 1 представлена кривая изменения мгновенных значений мощности для этого случая (направление тока и напряжения совпадают). Обратим внимание на то обстоятельство, что направления векторов напряжения и тока в этом случае совпадают, то есть фазы тока и напряжения всегда одинаковы.
Рисунок 1. Сдвиг фаз тока и напряжения. Сдвига фаз нет, мощность все время положительная.
При наличии в цепи переменного тока конденсатора или катушки индуктивности, фазы тока и напряжения совпадать не будут.
О причинах этого несовпадения читайте в моем учебники для емкостной цепи и для индуктивной цепи, а сейчас установим, как будет оно влиять на величину мощности переменного тока.
Представим себе, что при начале вращения радиусы-векторы тока и напряжения имеют различные направления. Так как оба вектора вращаются с одинаковой скоростью, то угол между ними будет оставаться неизменным во все время их вращения. На рисунке 2 изображен случай отставания вектора тока Im от вектора напряжения Um на угол в 45°.
Рисунок 2. Сдвиг фаз тока и напряжения. Фазы тока и напряжения сдвинуты на 45, мощность в некоторые периоды времени становиться отрицательной.
Рассмотрим, как будут изменяйся при этом ток и напряжение. Из построенных синусоид тока и напряжения видно, что когда напряжение проходит через ноль, ток имеет отрицательное значение.
Затем напряжение достигает своей наибольшей величины и начинает уже убывать, а ток хотя и становится положительным, но еще не достигает наибольшей величины и продолжает возрастать. Напряжение изменило свое направление, а ток все еще течет в прежнем направлении и т. д. Фаза тока все время запаздывает по сравнению с фазой напряжения. Между фазами напряжения и тока существует постоянный сдвиг, называемый сдвигом фаз.
Действительно, если мы посмотрим на рисунок 2, то заметим, что синусоида тока сдвинута вправо относительно синусоиды напряжения. Так как по горизонтальной оси мы откладываем градусы поворота, то и сдвиг фаз можно измерять в градусах. Нетрудно заметить, что сдвиг фаз в точности равен углу между радиусами-векторами тока и напряжения.
Вследствие отставания фазы тока от фазы напряжения его направление в некоторые моменты не будет совпадать с направлением напряжения. В эти моменты мощность тока будет отрицательной, так как произведение положительной величины на отрицательную величину всегда будет отрицательным. Эта значит, что внешняя электрическая цепь в эти моменты становится не потребителем электрической энергии, а источником ее. Некоторое количество энергии, поступившей в цепь во время части периода, когда мощность была положительной, возвращается источнику энергии в ту часть периода, когда мощность отрицательна.
Чем больше сдвиг фаз, тем продолжительнее становятся части периода, в течение которых мощность делается отрицательной, тем, следовательно, меньше будет средняя мощность тока.
При сдвиге фаз в 90° мощность в течение одной четверти периода будет положительной, а в течение другой четверти периода — отрицательной. Следовательно, средняя мощность тока будет равна нулю, и ток не будет производить никакой работы (рисунок 3).
Рисунок 3. Сдвиг фаз тока и напряжения. Фазы тока и напряжения сдвинуты на 90, мощность в течении одной четвери периода положительна, а в течении другой отрицательна. В среднем мощьноть равна нулю.
Теперь ясно, что мощность переменного тока при наличии сдвига фаз будет меньше произведения эффективных значений тока и напряжения, т. е. формулы
в этом случае будут неверны
ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!
Полное сопротивление цепи переменного тока
В предыдущих статьях мы узнали, что всякое сопротивление, поглощающее энергию, называется активным, а сопротивление, не поглощающее энергии, безваттным или реактивным. Кроме того, мы установили, что реактивные сопротивления делятся на два вида — индуктивные и емкостные.
Однако существуют цепи, где сопротивление не является чисто активным или чисто реактивным. То есть цепи, где вместе с активным сопротивлением включены в цепь, как емкости, так и индуктивности.
Введем понятие полного сопротивления цепи переменному току - Z, которое соответствует векторной сумме всех сопротивлений цепи (активных, емкостных и индуктивных). Понятие полного сопротивления цепи нам необходимо для более полного понимания закона Ома для переменного тока
На рисунке 1 представлены варианты электрических цепей и их классификация в зависимости от того какие элементы (активные или реактивные) включены в цепь.
Рисунок 1. Классификация цепей переменного тока.
Полное сопротивление цепи с чисто активными элементами соответствует сумме активных сопротивлений цепи и рассматривалось нами ранее. О чисто емкостном и индуктивном сопротивлении цепи мы тоже с вами говорили, и оно зависит соответственно от общей емкости и индуктивности цепи.
Рассмотрим более сложные варианты цепи, где последовательно с активным сопротивлением в цепь включено индуктивное и реактивное сопротивление.
Полное сопротивление цепи при последовательном соединении активного и реактивного сопротивления.
В любом сечении цепи, изображенной на рисунке 2,а, мгновенные значения тока должны быть одинаковыми, так как в противном случае наблюдались бы скопления и разрежения электронов в каких-либо точках цепи. Иными словами, фазы тока по всей длине цепи должны быть одинаковыми. Кроме того, мы знаем, что фаза напряжения на индуктивном сопротивлении опережает фазу тока на 90°, а фаза напряжения на активном сопротивлении совпадает с фазой тока (рисунок 2,б). Отсюда следует, что радиус-вектор напряжения UL (напряжение на индуктивном сопротивлении) и напряжения UR (напряжение на активном сопротивлении) сдвинуты друг относительно друга на угол в 90°.
Рисунок 2. Полное сопротивление цепи с активным сопротивлением и индуктивностью. а) - схема цепи; б) - сдвиг фаз тока и напряжения; в) - треугольник напряжений; д) - треугольник сопротивлений.
Для получения радиуса-вектора результирующего напряжения на зажимах А и В (рис.2,а) мы произведем геометрическое сложение радиусов-векторов UL и UR. Такое сложение выполнено на рис. 2,в, из которого видно, что результирующий вектор UAB является гипотенузой прямоугольного треугольника.
Из геометрии известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
По закону Ома напряжение должно равняться силе тока, умноженной на сопротивление.
Так как сила тока во всех точках цепи одинакова, то квадрат полного сопротивления цепи (Z 2 ) будет также равен сумме квадратов активного и индуктивного сопротивлений, т. е.
(1)
Извлекая квадратный корень из обеих частей этого равенства, получим,
(2)
Таким образом, полное сопротивление цепи, изображенной на рис 2,а, равно корню квадратному из суммы квадратов активного и индуктивного сопротивлений
Полное сопротивление можно находить не только путем вычисления, но и путем построения треугольника сопротивлений, аналогичного треугольнику напряжений (рис 2,д), т. е. полное сопротивление цепи переменному току может быть получено путем измерения гипотенузы, прямоугольного треугольника, катетами которого являются активное и реактивное сопротивления. Разумеется, измерения катетов и гипотенузы должны производиться в одном и том же масштабе. Так, например, если мы условились, что 1 см длины катетов соответствует 1 ом, то число омов полного сопротивления будет равно числу сантиметров, укладывающихся на гипотенузе.
Полное сопротивление цепи, изображенной на рис.2,а, не является ни чисто активным, ни чисто реактивным; оно содержит в себе оба эти вида сопротивлений. Поэтому угол сдвига фаз тока и напряжения в этой цепи будет отличаться и от 0° и от 90°, то есть он будет больше 0°, но меньше 90°. К которому из этих двух значений он будет более близок, будет зависеть от того, какое из этих сопротивлений имеет преобладающее значение в цепи. Если индуктивное сопротивление будет больше активного, то угол сдвига фаз будет более близок к 90°, и наоборот, если преобладающим будет активное сопротивление, то угол сдвига фаз будет более близок к 0°.
В цепи, изображенной на рис 3,а, соединены последовательно активное и емкостное сопротивления. Полное сопротивление такой цепи можно определить при помощи треугольника сопротивлений так же, как мы определяли выше полное сопротивление активно-индуктивной цепи.
Рисунок 3. Полное сопротивление цепи с активным сопротивлением и емкостью. а) - схема цепи; б) - треугольник сопротивлений .
Разница между обоими случаями состоит лишь в том, что треугольник сопротивлений для активно-емкостной цепи будет повернут в другую сторону (рис 3,б) вследствие того, что ток в емкостной цепи не отстает от напряжения, а опережает его.
Для данного случая:
(3)
В общем случае, когда цепь содержит все три вида сопротивлений (рис. 4,а), сначала определяется реактивное сопротивление этой цепи, а затем уже полное сопротивление цепи.
Рисунок 4. Полное сопротивление цепи содержащей R, L и C. а) - схема цепи; б) - треугольник сопротивлений .
Реактивное сопротивление этой цепи состоит из индуктивного и емкостного сопротивлений. Так как эти два вида реактивного сопротивления противоположны друг другу по своему характеру, то общее реактивное сопротивление цепи будет равно их разности, т. е.
(4)
Общее реактивное сопротивление цепи может иметь индуктивный или емкостный характер, в зависимости от того, какое из этих двух сопротивлений (XL или XC преобладает).
После того как мы по формуле (4) определили общее реактивное сопротивление цепи, определение полного сопротивления не представит затруднений. Полное сопротивление будет равно корню квадратному из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений, т. е.
(5)
(6)
Способ построения треугольника сопротивлений для этого случая изображен на рис. 4 б.
Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивного сопротивления.
Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивного элемента.
Для того чтобы вычислить полное сопротивление цепи, составленной из активного и индуктивного сопротивлений, соединенных между собой параллельно(рис. 5,а), нужно сначала вычислить проводимость каждой из параллельных ветвей, потом определить полную проводимость всей цепи между точками А и В и затем вычислить полное сопротивление цепи между этими точками.
Рисунок 5. Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивных элементов. а) - параллельное соединение R и L; б) - параллельное соединение R и C .
Проводимость активной ветви, как известно, равна 1/R, аналогично проводимость индуктивной ветви равна 1/ωL , а полная проводимость равна 1/Z
Полная проводимость равна корню квадратному из суммы квадратов активной и реактивной проводимости, т. е.
(7)
Приводя к общему знаменателю подкоренное выражение, получим:
(8)
(9)
Формула (9) служит для вычисления полного сопротивления цепи, изображенной на рис. 5а.
Нахождение полного сопротивления для этого случая может быть произведено и геометрическим путем. Для этого нужно построить в соответствующем масштабе треугольник сопротивлений, и затем произведение длин катетов разделить на длину гипотенузы. Полученный результат и будет соответствовать полному сопротивлению.
Аналогично случаю, рассмотренному выше, полное сопротивление при параллельном соединении R и С (рис 5б) будет равно:
(10)
Полное сопротивление может быть найдено также и в этом случае путем построения треугольника сопротивлений.
В радиотехнике наиболее часто встречается случай па¬раллельного соединения индуктивности и емкости, например колебательный контур для настройки приемников и передатчиков. Так как катушка индуктивности всегда обладает кроме индуктивного еще и активным сопротивлением, то эквивалентная (равноценная) схема колебательного контура будет содержать в индуктивной ветви активное сопротивление (рис 7).
Рисунок 6. Эквивалентная схема колебательного контура.
Формула полного сопротивления для этого случая будет:
(11)
Так как обычно активное сопротивление катушки (R) бывает очень мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением (ωL), то мы имеем право формулу (11) переписать в следующем виде:
(12)
В колебательном контуре обычно подбирают величины L и С таким образом, чтобы индуктивное сопротивление равнялось емкостному, т. е. чтобы соблюдалось условие
(13)
При соблюдении этого условия полное сопротивление колебательного контура будет равно:
(14)
где L—индуктивность катушки в Гн;
С—емкость конденсатора в Ф;
R—активное сопротивление катушки в Ом.
ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!
Последовательное соединение активного, индуктивного, емкостного сопротивлений. Резонанс напряжений. Коэффициент мощности
Рассмотренные в предыдущих трёх статьях электрические цепи переменного тока. содержащие только активное , только емкостное и только индуктивное сопротивления были взяты для того, чтобы полнее раскрыть свойства перечисленных сопротивлений.
В реальных электрических цепях присутствуют все перечисленные сопротивления: активное, индуктивное, емкостное.
Сейчас будем говорить о цепях, содержащих последовательно соединённые активное сопротивление, катушку индуктивности и конденсатор.
Нам предстоит найти полное сопротивление показанной на рисунке цепи и разность фаз между действующими значениями тока и напряжения в ней.
Мгновенное значение приложенного к цепи напряжения (на зажимах цепи) складывается из мгновенных значений напряжений на каждом сопротивлении, то есть будет равно сумме мгновенных напряжений на активном, индуктивном и емкостном сопротивлениях:
Но действующее значение напряжения на зажимах цепи U не будет равно алгебраической сумме напряжений на каждом участке цепи из-за разности фаз между током и напряжением U на каждом сопротивлении (активном, индуктивном, емкостном).
Для нахождения связи между перечисленными напряжениями удобно пользоваться векторной диаграммой.
Векторная диаграмма - это графическое изображение значений периодически изменяющихся величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков - векторов .
Например, мы знаем, что напряжение на зажимах цепи переменного тока меняется по синусоидальному закону, то есть колебания напряжения сети изображается синусоидой .
Мгновенные значения напряжения внешнего источника можно рассматривать ещё как проекции вектора напряжения U (вектора ОВ) на вертикальную ось при равномерном вращении этого вектора против часовой стрелки.
Точно также векторами можно изобразить переменный ток в цепи, переменные напряжения на активном сопротивлении, на емкостном и индуктивном сопротивлениях.
Колебания перечисленных величин имеют одну частоту , но сдвинуты по фазе относительно друг друга.
Их взаимное расположение со временем не меняется. Тогда все перечисленные вектора можно показать на одной диаграмме.
Действующее значение вектора напряжения внешнего источника U будет равно геометрической сумме векторов напряжений на каждом сопротивлении цепи.
Такое сложение векторов значительно проще сложения синусоид, поэтому векторные диаграммы применяют очень часто.
Ниже рассказано как построена диаграмма, изображённая на рис. 15, которая решает задачу нахождения полного сопротивления рассматриваемой электрической цепи и нахождения сдвига фаз между током и напряжением.
Как видим из формулы закона Ома, полное сопротивление цепи не равно простой сумме активного R и реактивного сопротивлений.
Индуктивное и емкостное напряжения имеют разные знаки - они направлены навстречу друг другу.
Итак, полное сопротивление цепи переменного тока:
На рис 15 прямоугольный треугольник векторной диаграммы составлен следующими векторами: вектором активного напряжения,
вектором индуктивного напряжения
вектором емкостного напряжения:
и вектором действующего напряжения U стороннего источника .
Из диаграммы, применив закон Пифагора, получим выражение для действующего напряжения:
Если каждое из этих напряжений (рис. 15) разделить на ток, то получим такой же треугольник , составленный сопротивлениями.
Прилежащий к углу катет даёт активное сопротивление цепи R , противолежащий катет - общее реактивное сопротивление цепи X , а гипотенуза треугольника даёт полное сопротивление цепи Z , состоящей из последовательно соединённых активного, индуктивного и ёмкостного сопротивлений..
Из представленного треугольника сопротивлений получаем соотношение:
то есть сдвиг фаз (угол фи) между током и напряжением в цепи определяется отношением реактивного сопротивления цепи к её активному сопротивлению.
Возможны следующие случаи :
Когда индуктивное сопротивление больше емкостного, то есть когда в цепи преобладает индуктивность , то ток отстаёт от напряжения на угол "фи".
Когда индуктивное сопротивление меньше емкостного, то есть когда в цепи преобладает емкостное сопротивление, то ток опережает напряжения на угол "фи".
Из треугольника сопротивлений получаем ещё такое выражение:
определяется отношением активного сопротивления цепи к её полному сопротивлению. Его называют коэффициентом мощности .
Значение коэффициента мощности определяет активную (полезную) мощность цепи.
Посмотрим, как получают выражение для мощность цепи переменного тока.
Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока, которые выражаются формулами:
Взяв произведение мгновенных значений тока и напряжения и проанализировав полученное выражение, придём к выводу, что мощность может быть как положительной (когда энергия от источника поступает в цепь), так и отрицательной (когда уходит из цепи в источник).
Практически важно знать среднюю за период мощность, так как только средняя мощность характеризует энергию, потребляемую цепью за единицу времени.
После математических преобразований получается следующее выражение для средней мощности , которую можно называть просто мощностью цепи:
то есть мощность электрической цепи переменного тока равна произведению действующих значений напряжения и силы тока на косинус угла между током и напряжением ,
Косинус сдвига фаз между током и напряжением назвали коэффициентом мощности .
Видим, что коэффициент мощности оказывает очень большое влияние на мощность электрической цепи.
Коэффициент мощности достигает максимального значения, равного единице, при угле "фи" (сдвиге фаз) равном нулю или когда индуктивное сопротивление равно емкостному сопротивлению:
При этом условии цепь переменного тока имеет минимальное сопротивление, равное активному сопротивлению цепи.
Ток же в цепи в этом случае достигает максимального значения (явление резонанса ).
Приложенное к цепи напряжение U равно активному напряжению (напряжению на активном сопротивлении R ).
Но при этом есть и индуктивное напряжение и равное ему по модулю, но противоположное по направлению (сдвинутое по фазе на половину периода) емкостное напряжение.
Причём они могут достигать достаточно больших значений, гораздо больших, чем напряжение сети U. Реактивные напряжения (индуктивное, емкостное) будут превышать напряжение сети U во столько раз, во сколько раз реактивные сопротивления (индуктивное, емкостное) будут больше активного сопротивления R .
Поэтому рассмотренное явление резонанса называется резонансом напряжений .
При резонансе мгновенные мощности в реактивных участках цепи (в катушке индуктивности и конденсаторе) равны и противоположны по знаку. Это значит, что увеличение энергии магнитного поля в катушке индуктивности происходит в результате уменьшения электрической энергии запасённой в конденсаторе, и наоборот, а энергия генератора расходуется только на активном сопротивлении.
Для электрической цепи промышленного тока резонанс вреден , так как может привести к пробою изоляции катушки и конденсатора.
По этой причине коэффициент мощности на предприятиях поднимают до 0,9 - 0,95, чтобы получить большую мощность, но чтобы не получить явление резонанса.
Какие меры применяются для повышения коэффициента мощности на промышленных предприятиях будет сказано позднее.
В цепь переменного тока (120В, 50 Гц) последовательно включены катушка с активным сопротивлением 3 Ом и индуктивным сопротивлением 4 Ом и конденсатор. При какой ёмкости конденсатора наступит резонанс напряжений? Какими будут при этом ток в цепи, активное, индуктивное и емкостное напряжения?
Характеристики переменного тока. Переменный ток в цепях, содержащих только активное сопротивление
Генераторы переменного тока, о принципе работы которых говорилось ранее, вырабатывают переменный синусоидальный ток.
Характеристики переменного тока.
Как любая колеблющаяся величина переменный ток характеризуется периодом и частотой.
Периодом переменного тока Т называется промежуток времени, в течение которого сила тока совершает одно полное колебание:
Частотой переменного тока называется число периодов за единицу времени:
Частота переменного тока всех электростанций равна 50 Гц или период промышленного тока равен 0,02 с.
Круговая или циклическая частота переменного тока:
Так как величина и направление мгновенных значений переменного тока всё время меняются, то введено понятие действующего значения тока, путём сравнения теплового действия постоянного и переменного токов.
Действующее значение силы переменного тока численно равно такому постоянному току, который проходя через одинаковое сопротивление, что и переменный, выделяет в нём за время периода одинаковое количество тепла.
Например, если говорим, что сила переменного тока равна 2 А - это значит, что тепловое действие этого переменного тока такое же, как и постоянного тока силой 2 А. За равные промежутки времени они выделяют одинаковое количество теплоты.
Действующие значения силы переменного тока, а также действующие значения ЭДС и напряжения переменного тока связаны с их максимальными ( амплитудными ) значениями, обозначенными с индексом "нуль", следующими соотношениями:
В генераторах, установленных на электростанциях, всегда возникает переменная ЭДС, изменяющаяся во времени по синусоидальному закону. Если принять начальную фазу за нуль, то мгновенные значения ЭДС связаны с её максимальными (амплитудными) значениями следующей зависимостью:
Такая же зависимость существует между мгновенными значениями напряжений на зажимах источника и его максимальным значением:
Если к генератору переменной ЭДС, на зажимах которого существует напряжение
подключить внешнюю цепь, то в ней будет течь синусоидальный ток , мгновенные значения которого связаны с амплитудным значением тока следующей зависимостью:
Здесь угол "фи" есть разность (сдвиг) фаз между током и напряжением.
Разность фаз может быть положительной и отрицательной величиной - это зависит от вида нагрузки во внешней цепи (от того, содержит ли внешняя цепь активное, индуктивное, емкостное сопротивления).
Для цепи только с активным сопротивлением угол "фи" равен нулю , то есть колебания тока и напряжения совпадают по фазе (показано на рисунках ниже).
Какой физический смысл имеет активное сопротивление?
Вспомним электрическую цепь постоянного тока.
К понятию электрического сопротивления и к закону Ома для участка цепи (не содержащего источника тока) пришли через опыты.
А именно, к участку цепи прикладывали постоянное напряжение U и измеряли проходящий по участку ток. Оказалось, что ток всегда пропорционален напряжению.
Коэффициент пропорциональности между ними назвали сопротивлением R участка цепи прохождению по нему тока.
Так опытным путём был получен один из основных законов постоянного тока - закон Ома .
Сопротивление проводника зависит от материала, из которого он изготовлен, от температуры и определяется его размерами.
Для однородного проводника в виде проволоки, трубки, бруска, пластины
Электронная теория сопротивление проводника току объясняет столкновениями упорядоченно движущихся электронов с ионами кристаллической решётки проводника.
При изучении цепей постоянного тока R называли просто сопротивлением.
При переходе к цепям переменного тока его стали называть активным сопротивлением, потому что оно активно (постоянно) потребляет электрическую энергию от источника тока, превращая её в другие виды энергии, преимущественно в тепловую .
Так, при прохождении тока (постоянного или переменного) через нить лампочки накаливания, выделяется тепло, нить накаляется и излучает свет.
В цепях переменного тока, кроме активного сопротивления R , имеют место индуктивное и емкостное сопротивления, которые в отличие от активного сопротивления, не поглощают энергию, а лишь передают её от электрического поля магнитному, и наоборот.
Индуктивному и емкостному сопротивлениям будут посвящены следующие две статьи.
Теперь рассмотрим случай, когда в цепи переменного тока содержится только активное сопротивление:
В цепи, содержащей только активное сопротивление, ток и напряжение колеблются в од инаковой фазе , то есть ток следует за напряжением, проходя одновременно с ним через максимумы и нулевые значения.
На рисунке ниже показаны кривые зависимости мгновенных значений тока и напряжения от времени за период.
Читайте также: